Verifique se as transformações abaixo são lineares: 
 , onde 
  é um elemento fixo de 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação 
 , definida por 
 , é linear. Estamos trabalhando com espaços de funções contínuas, e para verificar se uma transformação é linear, precisamos checar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. A transformação 
  é aditiva se, para quaisquer duas funções 
  e 
  em 
 , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Como ambos os lados são iguais, a transformação 
  satisfaz a propriedade da aditividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. A transformação 
  é homogênea se, para qualquer função 
  em 
  e qualquer escalar 
 , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Novamente, os dois lados são iguais, então a transformação 
  também satisfaz a propriedade da homogeneidade.
Resposta
Como a transformação 
  satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.