Considere: d(s)=s^{5}+7 s^{4}+14 s^{3}+17 s^{2}+19 s+6 e n(s)=s^{2}+5 s+2. A partir destes polinômios obtenha a Função de Transferência \mathrm{W}(\mathrm{s})=\mathrm{n}(\mathrm{s}) / \mathrm{d}(\mathrm{s}).

Passo 1

O enunciado dá os polinômios:
d(s)=s^{5}+7 s^{4}+14 s^{3}+17 s^{2}+19 s+6
n(s)=s^{2}+5 s+2
e pede para obter a função de transferência \mathrm{W}(\mathrm{s})=\mathrm{n}(\mathrm{s})/\mathrm{d}(\mathrm{s}).
Informações relevantes: temos o numerador \;n(s)=s^{2}+5s+2\; e o denominador \;d(s)=s^{5}+7s^{4}+14s^{3}+17s^{2}+19s+6\;. O objetivo é escrever \;W(s)=\dfrac{n(s)}{d(s)}\; e, se possível, simplificá-la.

Passo 2

Definição prática: a função de transferência é a razão entre o polinômio numerador e o polinômio denominador. Assim, escrevemos inicialmente:
W(s)=\frac{n(s)}{d(s)}=\frac{s^{2}+5s+2}{s^{5}+7s^{4}+14s^{3}+17s^{2}+19s+6}.
Para simplificar, verificamos se \;n(s)\; é fator de \;d(s)\;. Se for, podemos dividir polinômios e cancelar o fator comum.

Passo 3

Fazemos a divisão polinomial de \;d(s)\; por \;n(s)\;. Primeiro termo do quociente:
\text{term}_1 = s^5/s^2 = s^3.
Multiplicando:
(s^2+5s+2)\cdot s^3 = s^5+5s^4+2s^3.
Subtraindo do dividendo (pegamos os termos correspondentes):
(s^5+7s^4+14s^3) - (s^5+5s^4+2s^3) = 2s^4+12s^3.
Trazendo os termos restantes do dividendo obtemos o novo polinômio a dividir:
2s^4+12s^3+17s^2+19s+6.

Passo 4

Segundo termo do quociente:
\text{term}_2 = 2s^4/s^2 = 2s^2.
Multiplicando:
(s^2+5s+2)\cdot 2s^2 = 2s^4+10s^3+4s^2.
Subtraindo:
(2s^4+12s^3+17s^2) - (2s^4+10s^3+4s^2) = 2s^3+13s^2.
Trazendo os termos restantes:
2s^3+13s^2+19s+6.

Passo 5

Terceiro termo do quociente:
\text{term}_3 = 2s^3/s^2 = 2s.
Multiplicando:
(s^2+5s+2)\cdot 2s = 2s^3+10s^2+4s.
Subtraindo:
(2s^3+13s^2+19s) - (2s^3+10s^2+4s) = 3s^2+15s.
Trazendo o termo constante:
3s^2+15s+6.

Passo 6

Quarto termo do quociente:
\text{term}_4 = 3s^2/s^2 = 3.
Multiplicando:
(s^2+5s+2)\cdot 3 = 3s^2+15s+6.
Subtraindo:
(3s^2+15s+6) - (3s^2+15s+6) = 0.
Resto zero, logo a divisão é exata. O quociente é
Q(s)=s^3+2s^2+2s+3,
e portanto encontramos a fatoração
d(s)=n(s)\cdot Q(s).

Passo 7

Como d(s)=n(s)\,Q(s), podemos simplificar a função de transferência cancelando n(s) (assumindo cancelamento algébrico):
W(s)=\frac{n(s)}{d(s)}=\frac{n(s)}{n(s)\,Q(s)}=\frac{1}{Q(s)}.
Substituindo Q(s) obtemos a forma simplificada final:
W(s)=\frac{1}{s^{3}+2s^{2}+2s+3}.
Observação didática rápida: cancelar um fator comum corresponde a eliminar um zero e um polo iguais (cancelamento zero-polo). Em sistemas físicos esse cancelamento pode ocultar dinâmica se ocorrer cancelamento exato; em cálculos algébricos é válido.

Resposta

W(s)=\frac{1}{s^{3}+2s^{2}+2s+3}

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