Uma função \mathrm{G}(\mathrm{s}), possui: Zeros em s=-1, s=-2;
Polos em s=0, s=-4, s=-6 e Ganho K=5.
Escreva a função de transferência G(s)=B(s) / A(s) com o denominador e numerador na forma polinomial.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função de transferência G(s)=\dfrac{B(s)}{A(s)} com numerador e denominador na forma polinomial, e nos dá as seguintes informações:
  • Zeros em s=-1 e s=-2.
  • Polos em s=0,\; s=-4,\; s=-6.
  • Ganho K=5.
Também anotei que devo apresentar B(s) (numerador) e A(s) (denominador) como polinômios em s. Aqui s é a variável complexa de Laplace (frequência complexa).

Passo 2

Como regra: um zero em s=z corresponde ao fator (s-z) no numerador; um polo em s=p corresponde ao fator (s-p) no denominador. Aplicando isso:
  • Zeros s=-1 e s=-2 dão fatores (s-(-1))=(s+1) e (s-(-2))=(s+2).
  • Polos s=0,\,-4,\,-6 dão fatores (s-0)=s, (s+4) e (s+6).

Passo 3

Formo o numerador sem ainda aplicar o ganho: produto dos fatores dos zeros
(s+1)(s+2).
Vou expandir passo a passo usando distribuição (FOIL): primeiro termo pelo primeiro, primeiro pelo segundo, segundo pelo primeiro, segundo pelo segundo.
(s+1)(s+2)=s\cdot s + s\cdot 2 + 1\cdot s + 1\cdot 2 = s^2 + 2s + s + 2 = s^2 + 3s + 2.

Passo 4

Agora aplico o ganho K=5 multiplicando todo o numerador:
B(s) = 5\bigl(s^2 + 3s + 2\bigr).
Multiplicando cada coeficiente por 5:
B(s)=5s^2 + 15s + 10.
Expliquei: multiplicar o polinômio por uma constante significa multiplicar cada termo do polinômio por essa constante.

Passo 5

Formo o denominador como produto dos fatores dos polos:
s\,(s+4)(s+6).
Vou expandir em duas etapas. Primeiro multiplico s por (s+4):
s\cdot (s+4)=s^2 + 4s.
Agora multiplico esse resultado por (s+6). Faço distribuição termo a termo:
(s^2 + 4s)(s+6)=s^2\cdot s + s^2\cdot 6 + 4s\cdot s + 4s\cdot 6.
Calculando cada termo:
s^3 + 6s^2 + 4s^2 + 24s.
Somando termos semelhantes ( 6s^2+4s^2):
A(s)=s^3 + 10s^2 + 24s.

Passo 6

Verifico se há cancelamento de fator comum entre numerador e denominador: o denominador tem fator s (pois há polo em 0), mas o numerador em s=0 vale B(0)=10\neq 0. Logo não há cancelamento de s. Portanto a forma polinomial encontrada é a final (sem simplificações por cancelamento).

Passo 7

Checagens rápidas e interpretação:
  • Grau do numerador: 2 (pois 5s^2 é termo dominante).
  • Grau do denominador: 3 (pois s^3 é termo dominante).
    Como grau do denominador é maior que o do numerador, G(s) é uma função de transferência própria (comportamento esperado).

Resposta

G(s)=\frac{5s^2 + 15s + 10}{s^3 + 10s^2 + 24s}
B(s)=5s^2 + 15s + 10
A(s)=s^3 + 10s^2 + 24s

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