Uma função
, possui: Zeros em
;
Polos em
e Ganho
.
Escreva a função de transferência
com o denominador e numerador na forma polinomial.
Escreva a função de transferência
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função de transferência
com numerador e denominador na forma polinomial, e nos dá as seguintes informações:
- Zeros em
e . - Polos em
. - Ganho
.
Também anotei que devo apresentar
(numerador) e
(denominador) como polinômios em
. Aqui
é a variável complexa de Laplace (frequência complexa).
Passo 2
Como regra: um zero em
corresponde ao fator
no numerador; um polo em
corresponde ao fator
no denominador. Aplicando isso:
- Zeros
e dão fatores e . - Polos
dão fatores , e .
Passo 3
Formo o numerador sem ainda aplicar o ganho: produto dos fatores dos zeros
Vou expandir passo a passo usando distribuição (FOIL): primeiro termo pelo primeiro, primeiro pelo segundo, segundo pelo primeiro, segundo pelo segundo.
Passo 4
Agora aplico o ganho
multiplicando todo o numerador:
Multiplicando cada coeficiente por
:
Expliquei: multiplicar o polinômio por uma constante significa multiplicar cada termo do polinômio por essa constante.
Passo 5
Formo o denominador como produto dos fatores dos polos:
Vou expandir em duas etapas. Primeiro multiplico
por
:
Agora multiplico esse resultado por
. Faço distribuição termo a termo:
Calculando cada termo:
Somando termos semelhantes (
):
Passo 6
Verifico se há cancelamento de fator comum entre numerador e denominador: o denominador tem fator
(pois há polo em
), mas o numerador em
vale
. Logo não há cancelamento de
. Portanto a forma polinomial encontrada é a final (sem simplificações por cancelamento).
Passo 7
Checagens rápidas e interpretação:
- Grau do numerador:
(pois é termo dominante). - Grau do denominador:
(pois é termo dominante).
Como grau do denominador é maior que o do numerador,é uma função de transferência própria (comportamento esperado).