Considere um “aerofólio simétrico” dado por uma circunferência de raio R submetido a um escoamento horizontal com velocidade \mathrm{U}_{\infty}. Determine a distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento \sigma que descreve esse aerofólio segundo a teoria do aerofólio fino. Calcule a distribuição de C_{p} e compare com a distribuição obtida pela teoria potencial.

Passo 1

Enunciado (o que se pede) e dados fornecidos:
  • Temos um “aerofólio simétrico” cujo contorno é uma circunferência de raio R imersa num escoamento uniforme horizontal de velocidade \mathrm{U}_{\infty}.
  • Pedem-se:
    1. A distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento \sigma(x) (no eixo do cordão) que representa esse aerofólio segundo a teoria do aerofólio fino.
    2. A distribuição do coeficiente de pressão C_{p} obtida por essa teoria (aqui usaremos a formulação linearizada do aerofólio fino).
    3. Comparar essa distribuição de C_{p} com a distribuição obtida pela teoria potencial (solução exata para a circunferência sem circulação).
Informações geométricas úteis extraídas do enunciado:
  • O cordão do aerofólio corresponde ao diâmetro da circunferência: o eixo x vai de -R a +R.
  • A metade de espessura (meia-corda) do contorno superior da circunferência (distância da linha média y=0 até a superfície superior) é
z(x) = \sqrt{R^{2}-x^{2}},\qquad -R<x<R,
ou seja, os pontos da superfície satisfazem y=\pm z(x).
Observação: a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Princípio da teoria do aerofólio fino (parte que precisamos usar) — ideia e equação integral básica:
  • Na teoria do aerofólio fino a espessura pode ser representada por uma distribuição linear de fontes/sumidouros \sigma(\xi) colocada ao longo da linha média (o cordão), tal que o campo de velocidade induzido por essa distribuição, somado ao escoamento livre, satisfaz a condição de impermeabilidade linearizada na linha média.
  • Linearizando (pequenas inclinações) a condição de impermeabilidade no contorno superior, obtém-se, para x no intervalo (-R,R), a equação integral de primeira espécie
\frac{1}{2\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\sigma(\xi)}{x-\xi}\,d\xi \;=\; -\,\mathrm{U}_{\infty}\,\frac{dz}{dx}(x),
onde “P.V.” indica o valor principal de Cauchy por causa da singularidade quando \xi\to x.
  • Explicação didática dos termos:
    • \sigma(\xi) é a intensidade de fonte por unidade de comprimento (unidade: velocidade \times comprimento por comprimento? na prática tem dimensão de velocidade).
    • O lado esquerdo representa a componente vertical da velocidade induzida, avaliada na linha média, proveniente da distribuição de fontes.
    • O lado direito é a velocidade normal imposta pelo escoamento externo linearizado: como o escoamento livre é horizontal, a velocidade normal relativa à linha média é -\mathrm{U}_{\infty}\,dz/dx (se a superfície sobe, o escoamento livre gera uma componente normal para baixo).

Passo 3

Aplicando a geometria da circunferência à equação integral:
  • Calcule dz/dx com z(x)=\sqrt{R^{2}-x^{2}}:
\frac{dz}{dx}(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{R^{2}-x^{2}} \;=\; \frac{-x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
  • Então o termo do lado direito fica
-\,\mathrm{U}_{\infty}\,\frac{dz}{dx}(x) \;=\; -\mathrm{U}_{\infty}\left(\frac{-x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\right) \;=\; \mathrm{U}_{\infty}\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
  • A equação integral que temos que resolver é, portanto:
\frac{1}{2\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\sigma(\xi)}{x-\xi}\,d\xi \;=\; \mathrm{U}_{\infty}\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}},\qquad -R<x<R.
Vou chamar o lado direito de
g(x)\equiv \mathrm{U}_{\infty}\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.

Passo 4

Como resolver a integral singular — uso do operador de Hilbert (intuição e fórmula de inversão):
  • Define-se o operador de Hilbert H (no intervalo (-R,R)) por
(Hf)(x) \;=\; \frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{f(\xi)}{\xi-x}\,d\xi.
  • Note que a nossa integral aparece na forma \frac{1}{2\pi}\int \frac{\sigma(\xi)}{x-\xi}\,d\xi. Reescrevendo:
\frac{1}{2\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\sigma(\xi)}{x-\xi}\,d\xi \;=\; -\frac{1}{2}\,\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\sigma(\xi)}{\xi-x}\,d\xi \;=\; -\frac{1}{2}\,(H\sigma)(x).
  • Assim a equação integral torna-se
-\tfrac{1}{2}(H\sigma)(x)=g(x)\quad\Rightarrow\quad (H\sigma)(x)=-2g(x).
  • Propriedade fundamental do operador de Hilbert (valiosa para inverter): na classe de funções consideradas aqui temos
H(Hf)=-f,
isto é, H^{2}=-I. Aplicando H em ambos os lados da equação (H\sigma)=-2g obtemos
H(H\sigma)=H(-2g)\quad\Rightarrow\quad -\sigma=-2(Hg),
logo
\sigma(x)=2\,(H g)(x).
  • Em palavras: a solução \sigma é duas vezes o operador de Hilbert aplicado à função g.

Passo 5

Cálculo explícito de H g para a função g(\xi)=\mathrm{U}_{\infty}\,\dfrac{\xi}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}:
  • Escrevemos
(Hg)(x)=\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\mathrm{U}_{\infty}\,\xi}{\xi-x}\,\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xi = \frac{\mathrm{U}_{\infty}}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\xi}{\xi-x}\,\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xi.
  • Use a decomposição algébrica útil
\frac{\xi}{\xi-x} \;=\; 1 \;+\; \frac{x}{\xi-x}.
  • Então o integral fica soma de dois termos:
\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\xi}{\xi-x}\,\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xi = \int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xi \;+\; x\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{1}{\xi-x}\,\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xi.
  • Conhecemos as duas integrais padrão:
    • A integral da função de peso de semicircunferência é
    \int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xi = \pi.
    • A integral principal de Cauchy
    \mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{1}{\xi-x}\,\frac{1}{\sqrt{R^{2}-\xi^{2}}}\,d\xié zero para |x|<R (por simetria da função e propriedades da transformada de Hilbert neste caso).
  • Portanto o resultado do integral é simplesmente \pi. Assim
(Hg)(x)=\frac{\mathrm{U}_{\infty}}{\pi}\cdot \pi \;=\; \mathrm{U}_{\infty}.
  • Conclusão imediata:
\sigma(x)=2\,(H g)(x)=2\,\mathrm{U}_{\infty}.
Ou seja, a intensidade de fonte por unidade de comprimento é constante ao longo do cordão:
\boxed{\sigma(x)=2\,\mathrm{U}_{\infty},\qquad -R<x<R.}

Passo 6

Interpretação física e verificação rápida:
  • A solução \sigma(x)=2\mathrm{U}_{\infty} é simples e intuitiva: uma distribuição uniforme de fontes ao longo do diâmetro, na aproximação linear, reproduz a espessura cilíndrica — isso é característico: a circunferência é obtida pela superposição do escoamento uniforme com um campo de fontes uniforme (na aproximação linear de aerofólio fino).
  • Dimensionalmente \sigma tem dimensão de velocidade (na modelagem bidimensional de fontes por unidade de comprimento em 2D, a intensidade é proporcional a velocidade), e o fato de ser 2\mathrm{U}_{\infty} é compatível com escalas do problema.

Passo 7

Cálculo da velocidade tangencial na linha média (derivada do potencial) e do C_{p} segundo a teoria linearizada:
  • O potencial induzido por \sigma ao longo da linha média tem derivada em x dada por
\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x) \;=\; \frac{1}{2\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-R}^{R}\frac{\sigma(\xi)}{x-\xi}\,d\xi.
  • Pela equação integral original essa quantidade é exatamente o lado direito g(x). Como já calculamos g(x),
\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x) \;=\; \mathrm{U}_{\infty}\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
  • A componente tangencial (no eixo x, linearizada) da velocidade na linha média é
u(x)=\mathrm{U}_{\infty}+\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x) =\mathrm{U}_{\infty}\left(1+\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\right).
  • Na teoria linearizada (pequenos perturbos) o coeficiente de pressão é aproximado por
C_{p}(x)\approx -\,2\,\frac{u(x)-\mathrm{U}_{\infty}}{\mathrm{U}_{\infty}} \;=\; -\,2\,\frac{1}{\mathrm{U}_{\infty}}\cdot\mathrm{U}_{\infty}\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \;=\; -\,2\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
  • Portanto, segundo a teoria do aerofólio fino (linearizada), obtemos a distribuição
\boxed{C_{p}^{(\text{TAF})}(x)\;=\;-\,2\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}},\qquad -R<x<R.}
Observação importante: esta expressão é a versão linearizada de C_{p}. Ela diverge quando x\to\pm R (extremidades do cordão), o que indica que a aproximação linearizada deixa de ser válida perto da borda dianteira/traseira (efeito típico de integrais singulares e da perda da hipótese “fina” onde a inclinação não é pequena).

Passo 8

Expressão do C_{p} pela teoria potencial (solução exata para a circunferência sem circulação) e relação com x:
  • Na solução potencial clássica para um cilindro/circunferência em escoamento uniforme sem circulação, a velocidade tangencial na superfície (módulo) é
V_{\theta}=2\,\mathrm{U}_{\infty}\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo polar medido a partir da frente do cilindro. O coeficiente de pressão exato na superfície é então
C_{p}^{(\text{pot})}(\theta)=1-\left(\frac{V_{\theta}}{\mathrm{U}_{\infty}}\right)^{2} =1-4\sin^{2}\theta.
  • Em termos de x (coordenada cartesiana no eixo do cordão) usamos x=R\cos\theta, logo \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=1-(x/R)^{2}. Assim
\boxed{C_{p}^{(\text{pot})}(x)=1-4\left(1-\frac{x^{2}}{R^{2}}\right) \;=\; \frac{4x^{2}}{R^{2}}-3,\qquad -R\le x\le R.}
  • Pontos de verificação rápida:
    • Em x=R (ponto frontal \theta=0): C_{p}^{(\text{pot})}=1 (estagnação).
    • Em x=0 (topo \theta=\pi/2): C_{p}^{(\text{pot})}=-3 (velocidade máxima 2\mathrm{U}_{\infty}).

Passo 9

Comparação entre a previsão da teoria do aerofólio fino e a teoria potencial (comentários e interpretação física):
  • Síntese das duas distribuições (para leitura imediata):
    • Teoria do aerofólio fino (linearizada): C_{p}^{(\text{TAF})}(x) = -\,2\,\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
    • Teoria potencial (solução exata para a circunferência): C_{p}^{(\text{pot})}(x) = \frac{4x^{2}}{R^{2}}-3.
  • Comparação qualitativa:
    • A expressão linearizada C_{p}^{(\text{TAF})} é ímpar em x (muda de sinal entre cima e baixo do eixo), enquanto C_{p}^{(\text{pot})} é par em x. Isso decorre do fato de que a linearização que usamos calculou a perturbação na linha média causada pela espessura superior; para um corpo perfeitamente simétrico o campo de pressão real é simétrico em relação ao eixo x. O sinal ímpar aparece porque, na formulação linearizada, estamos usando a condição linearizada do contorno sobre a linha média e o modelo de fonte simples — a aproximação perde precisão ao traduzir a direção tangencial exata da velocidade na superfície.
    • Numericamente os dois resultados diferem fortemente: por exemplo, no ponto médio x=0 temos C_{p}^{(\text{TAF})}(0)=0,\qquad C_{p}^{(\text{pot})}(0)=-3.Ou seja, a teoria linearizada falha em prever a forte sucção (baixo C_{p}) do ponto superior do cilindro.
    • Próximo às extremidades x\to\pm R a expressão linearizada diverge (fazendo C_{p}\to\mp\infty), enquanto a solução exata tem valores finitos ( C_{p}=1 na frente e C_{p}=1 na retaguarda se não há circulação). Isso indica limitação da hipótese de “linha média” e da linearização em pontos onde a geometria não é “fina”.
  • Conclusão física: a teoria do aerofólio fino (na forma linear que usamos) fornece uma solução muito simples e, para corpos realmente finos (espessura pequena em relação à corda e pequenas inclinações) é razoável. Para o caso da circunferência (que não é fina), essa aproximação é ruim: ela produz uma distribuição de pressão qualitativamente e quantitativamente diferente da solução potencial exata. Em particular, a solução exata mostra velocidades máximas de 2\mathrm{U}_{\infty} e C_{p} minimo -3, enquanto a linearização subestima (ou mal descreve) esses efeitos e gera singularidades nas extremidades.

Resposta

\sigma(x)=2\,\mathrm{U}_{\infty},\qquad -R<x<R.
C_{p}^{(\text{TAF})}(x)=-\,2\,\dfrac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}},\qquad -R<x<R.
C_{p}^{(\text{pot})}(x)=\dfrac{4x^{2}}{R^{2}}-3,\qquad -R\le x\le R.

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