Considere um “aerofólio simétrico” dado por uma circunferência de raio R submetido a um escoamento horizontal com velocidade
. Determine a distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento
que descreve esse aerofólio segundo a teoria do aerofólio fino. Calcule a distribuição de
e compare com a distribuição obtida pela teoria potencial.
Passo 1
Enunciado (o que se pede) e dados fornecidos:
- Temos um “aerofólio simétrico” cujo contorno é uma circunferência de raio
imersa num escoamento uniforme horizontal de velocidade . - Pedem-se:
- A distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento
(no eixo do cordão) que representa esse aerofólio segundo a teoria do aerofólio fino. - A distribuição do coeficiente de pressão
obtida por essa teoria (aqui usaremos a formulação linearizada do aerofólio fino). - Comparar essa distribuição de
com a distribuição obtida pela teoria potencial (solução exata para a circunferência sem circulação).
- A distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento
Informações geométricas úteis extraídas do enunciado:
- O cordão do aerofólio corresponde ao diâmetro da circunferência: o eixo
vai de a . - A metade de espessura (meia-corda) do contorno superior da circunferência (distância da linha média
até a superfície superior) é
ou seja, os pontos da superfície satisfazem
.
Observação: a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Princípio da teoria do aerofólio fino (parte que precisamos usar) — ideia e equação integral básica:
- Na teoria do aerofólio fino a espessura pode ser representada por uma distribuição linear de fontes/sumidouros
colocada ao longo da linha média (o cordão), tal que o campo de velocidade induzido por essa distribuição, somado ao escoamento livre, satisfaz a condição de impermeabilidade linearizada na linha média. - Linearizando (pequenas inclinações) a condição de impermeabilidade no contorno superior, obtém-se, para
no intervalo , a equação integral de primeira espécie
onde “P.V.” indica o valor principal de Cauchy por causa da singularidade quando
.
- Explicação didática dos termos:
-
é a intensidade de fonte por unidade de comprimento (unidade: velocidade comprimento por comprimento? na prática tem dimensão de velocidade). - O lado esquerdo representa a componente vertical da velocidade induzida, avaliada na linha média, proveniente da distribuição de fontes.
- O lado direito é a velocidade normal imposta pelo escoamento externo linearizado: como o escoamento livre é horizontal, a velocidade normal relativa à linha média é
(se a superfície sobe, o escoamento livre gera uma componente normal para baixo).
-
Passo 3
Aplicando a geometria da circunferência à equação integral:
- Calcule
com :
- Então o termo do lado direito fica
- A equação integral que temos que resolver é, portanto:
Vou chamar o lado direito de
Passo 4
Como resolver a integral singular — uso do operador de Hilbert (intuição e fórmula de inversão):
- Define-se o operador de Hilbert
(no intervalo ) por
- Note que a nossa integral aparece na forma
. Reescrevendo:
- Assim a equação integral torna-se
- Propriedade fundamental do operador de Hilbert (valiosa para inverter): na classe de funções consideradas aqui temos
isto é,
. Aplicando
em ambos os lados da equação
obtemos
logo
- Em palavras: a solução
é duas vezes o operador de Hilbert aplicado à função .
Passo 5
Cálculo explícito de
para a função
:
- Escrevemos
- Use a decomposição algébrica útil
- Então o integral fica soma de dois termos:
- Conhecemos as duas integrais padrão:
- A integral da função de peso de semicircunferência é
- A integral principal de Cauchy
é zero para (por simetria da função e propriedades da transformada de Hilbert neste caso). - Portanto o resultado do integral é simplesmente
. Assim
- Conclusão imediata:
Ou seja, a intensidade de fonte por unidade de comprimento é constante ao longo do cordão:
Passo 6
Interpretação física e verificação rápida:
- A solução
é simples e intuitiva: uma distribuição uniforme de fontes ao longo do diâmetro, na aproximação linear, reproduz a espessura cilíndrica — isso é característico: a circunferência é obtida pela superposição do escoamento uniforme com um campo de fontes uniforme (na aproximação linear de aerofólio fino). - Dimensionalmente
tem dimensão de velocidade (na modelagem bidimensional de fontes por unidade de comprimento em 2D, a intensidade é proporcional a velocidade), e o fato de ser é compatível com escalas do problema.
Passo 7
Cálculo da velocidade tangencial na linha média (derivada do potencial) e do
segundo a teoria linearizada:
- O potencial induzido por
ao longo da linha média tem derivada em dada por
- Pela equação integral original essa quantidade é exatamente o lado direito
. Como já calculamos ,
- A componente tangencial (no eixo
, linearizada) da velocidade na linha média é
- Na teoria linearizada (pequenos perturbos) o coeficiente de pressão é aproximado por
- Portanto, segundo a teoria do aerofólio fino (linearizada), obtemos a distribuição
Observação importante: esta expressão é a versão linearizada de
. Ela diverge quando
(extremidades do cordão), o que indica que a aproximação linearizada deixa de ser válida perto da borda dianteira/traseira (efeito típico de integrais singulares e da perda da hipótese “fina” onde a inclinação não é pequena).
Passo 8
Expressão do
pela teoria potencial (solução exata para a circunferência sem circulação) e relação com
:
- Na solução potencial clássica para um cilindro/circunferência em escoamento uniforme sem circulação, a velocidade tangencial na superfície (módulo) é
onde
é o ângulo polar medido a partir da frente do cilindro. O coeficiente de pressão exato na superfície é então
- Em termos de
(coordenada cartesiana no eixo do cordão) usamos , logo . Assim
- Pontos de verificação rápida:
- Em
(ponto frontal ): (estagnação). - Em
(topo ): (velocidade máxima ).
- Em
Passo 9
Comparação entre a previsão da teoria do aerofólio fino e a teoria potencial (comentários e interpretação física):
- Síntese das duas distribuições (para leitura imediata):
- Teoria do aerofólio fino (linearizada):
- Teoria potencial (solução exata para a circunferência):
- Teoria do aerofólio fino (linearizada):
- Comparação qualitativa:
- A expressão linearizada
é ímpar em (muda de sinal entre cima e baixo do eixo), enquanto é par em . Isso decorre do fato de que a linearização que usamos calculou a perturbação na linha média causada pela espessura superior; para um corpo perfeitamente simétrico o campo de pressão real é simétrico em relação ao eixo . O sinal ímpar aparece porque, na formulação linearizada, estamos usando a condição linearizada do contorno sobre a linha média e o modelo de fonte simples — a aproximação perde precisão ao traduzir a direção tangencial exata da velocidade na superfície. - Numericamente os dois resultados diferem fortemente: por exemplo, no ponto médio
temos Ou seja, a teoria linearizada falha em prever a forte sucção (baixo ) do ponto superior do cilindro. - Próximo às extremidades
a expressão linearizada diverge (fazendo ), enquanto a solução exata tem valores finitos ( na frente e na retaguarda se não há circulação). Isso indica limitação da hipótese de “linha média” e da linearização em pontos onde a geometria não é “fina”.
- A expressão linearizada
- Conclusão física: a teoria do aerofólio fino (na forma linear que usamos) fornece uma solução muito simples e, para corpos realmente finos (espessura pequena em relação à corda e pequenas inclinações) é razoável. Para o caso da circunferência (que não é fina), essa aproximação é ruim: ela produz uma distribuição de pressão qualitativamente e quantitativamente diferente da solução potencial exata. Em particular, a solução exata mostra velocidades máximas de
e minimo , enquanto a linearização subestima (ou mal descreve) esses efeitos e gera singularidades nas extremidades.