Questão \mathbf{n}^{0} \mathbf{0 2} \boldsymbol{-} \boldsymbol{(} \mathbf{2 , 0} pontos) Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor sólido interno de raio a e uma casca condutora cilíndrica externa de raio interno b e raio externo c. Existe uma corrente I para o fio interno, e uma corrente igual retorna no fio externo. As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor. Determine o campo magnético \vec{B} com justificativas, em função das variáveis do enunciado nos seguintes intervalos:
(\mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) r<a,

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo magnético \vec B de um cabo coaxial nas várias regiões radiais; aqui vamos tratar especificamente a região r<a. Dados fornecidos relevantes:
  • O condutor interno é um cilindro sólido de raio a.
  • A casca externa tem raio interno b e raio externo c (esses dados não serão usados para r<a, mas foram informados).
  • Existe uma corrente I fluindo no condutor interno (e uma corrente igual retornando no externo).
  • As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor (ou seja, densidade de corrente uniforme em cada seção).
  • Queremos \vec B para r<a em função das variáveis do enunciado.

Passo 2

Por simetria cilíndrica, o campo magnético ao redor de um fio longo com corrente axial só pode depender da distância radial r ao eixo e deve ser tangencial (no sentido azimutal): \vec B(r)=B_\varphi(r)\,\hat\varphi. Explico por quê: se girarmos o sistema em torno do eixo ou deslocarmos ao longo do eixo nada muda — então não pode haver componente radial nem axial dependente do ângulo; resta apenas a componente azimutal que depende só de r. Na prova vale escrever isso curto: comportamento simétrico implica \vec B só em função de r e na direção \hat\varphi.

Passo 3

Usamos a Lei de Ampère na forma integral (muito útil em problemas com simetria):
\oint_{\mathcal C} \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mathcal C é um circuito fechado e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área limitada por \mathcal C. Aqui escolhemos \mathcal C como uma circunferência de raio r centrada no eixo (coincide com a linha de simetria), então d\vec l aponta em \hat\varphi e \vec B é paralelo a d\vec l.

Passo 4

Avaliação do lado esquerdo da Lei de Ampère: como \vec B tem módulo constante sobre a circunferência de raio r (devido à simetria) e é tangencial,
\oint_{\mathcal C} \vec B\cdot d\vec l = B_\varphi(r)\,(2\pi r).
Agora precisamos de I_{\text{enc}} para r<a. Como a corrente no condutor interno é distribuída uniformemente na sua seção, a densidade de corrente superficial (na seção) — na verdade densidade volumétrica projetada para a seção — é
J = \frac{I}{\pi a^2},
onde J tem unidade de corrente por área e representa que cada pedaço de área carrega a mesma fração da corrente.

Passo 5

A corrente total atravessando a área de raio r (com r<a) é a densidade J vezes a área da seção de raio r:
I_{\text{enc}} = J\cdot (\pi r^2) = \frac{I}{\pi a^2}\cdot \pi r^2 = I\,\frac{r^2}{a^2}.
Substituindo na Lei de Ampère:
B_\varphi(r)\,(2\pi r) = \mu_0 \left(I\,\frac{r^2}{a^2}\right).
Isolando B_\varphi(r):
B_\varphi(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a^2}\, r.

Passo 6

Colocando em forma vetorial e indicando a direção com a regra da mão direita: se a corrente I aponta no sentido +z, o campo magnético circula no sentido \hat\varphi dado pela regra da mão direita; se a corrente for no sentido -z, o campo troca de sinal. Assim, para corrente no sentido +z,
\vec B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi a^2}\, r\;\hat\varphi\qquad\text{para }0\le r<a.
Como verificação rápida: B_\varphi cresce proporcionalmente a r dentro do condutor sólido (comportamento físico esperado porque mais área inclui mais corrente). Em r=a esse valor coincide com o valor limite da região externa imediata \bigl(\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\bigr), garantindo continuidade do campo tangencial na fronteira (em ausência de superfícies com corrente concentrada).

Resposta

\displaystyle \vec B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi a^2}\,r\;\hat\varphi\quad\text{para }r<a

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