Questão
pontos) Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor sólido interno de raio
e uma casca condutora cilíndrica externa de raio interno
e raio externo
. Existe uma corrente
para o fio interno, e uma corrente igual retorna no fio externo. As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor. Determine o campo magnético
com justificativas, em função das variáveis do enunciado nos seguintes intervalos:
ponto)
,
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo magnético
de um cabo coaxial nas várias regiões radiais; aqui vamos tratar especificamente a região
. Dados fornecidos relevantes:
- O condutor interno é um cilindro sólido de raio
. - A casca externa tem raio interno
e raio externo (esses dados não serão usados para , mas foram informados). - Existe uma corrente
fluindo no condutor interno (e uma corrente igual retornando no externo). - As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor (ou seja, densidade de corrente uniforme em cada seção).
- Queremos
para em função das variáveis do enunciado.
Passo 2
Por simetria cilíndrica, o campo magnético ao redor de um fio longo com corrente axial só pode depender da distância radial
ao eixo e deve ser tangencial (no sentido azimutal):
. Explico por quê: se girarmos o sistema em torno do eixo ou deslocarmos ao longo do eixo nada muda — então não pode haver componente radial nem axial dependente do ângulo; resta apenas a componente azimutal que depende só de
. Na prova vale escrever isso curto: comportamento simétrico implica
só em função de
e na direção
.
Passo 3
Usamos a Lei de Ampère na forma integral (muito útil em problemas com simetria):
onde
é um circuito fechado e
é a corrente total atravessando a área limitada por
. Aqui escolhemos
como uma circunferência de raio
centrada no eixo (coincide com a linha de simetria), então
aponta em
e
é paralelo a
.
Passo 4
Avaliação do lado esquerdo da Lei de Ampère: como
tem módulo constante sobre a circunferência de raio
(devido à simetria) e é tangencial,
Agora precisamos de
para
. Como a corrente no condutor interno é distribuída uniformemente na sua seção, a densidade de corrente superficial (na seção) — na verdade densidade volumétrica projetada para a seção — é
onde
tem unidade de corrente por área e representa que cada pedaço de área carrega a mesma fração da corrente.
Passo 5
A corrente total atravessando a área de raio
(com
) é a densidade
vezes a área da seção de raio
:
Substituindo na Lei de Ampère:
Isolando
:
Passo 6
Colocando em forma vetorial e indicando a direção com a regra da mão direita: se a corrente
aponta no sentido
, o campo magnético circula no sentido
dado pela regra da mão direita; se a corrente for no sentido
, o campo troca de sinal. Assim, para corrente no sentido
,
Como verificação rápida:
cresce proporcionalmente a
dentro do condutor sólido (comportamento físico esperado porque mais área inclui mais corrente). Em
esse valor coincide com o valor limite da região externa imediata
, garantindo continuidade do campo tangencial na fronteira (em ausência de superfícies com corrente concentrada).