Considere agora que a tensão de entrada do circuito do exercício anterior tem pico de 200 V . Calcule o valor médio da tensão de saída considerando o modelo ideal e o modelo da queda de tensão constante e compare os resultados obtidos com aqueles da primeira questão. Qual é frequência da tensão de saída se a tensão de entrada tem frequência de 100 Hz ?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (não foram enviadas outras informações do “exercício anterior”):
  • Dado: a tensão de entrada tem pico \,V_m = 200\\ \text{V}.
  • Pedidos:
    1. Calcular o valor médio (valor médio DC) da tensão de saída considerando:
      • o modelo ideal (diode ideal, sem queda de tensão);
      • o modelo com queda de tensão constante (modelo onde cada diodo tem queda constante V_D).
    2. Comparar os resultados obtidos com aqueles da primeira questão (os valores da primeira questão não foram fornecidos).
    3. Determinar a frequência da tensão de saída se a tensão de entrada tem frequência 100\\ \text{Hz}.
  • Informações ausentes / hipóteses que preciso tomar (e que serão explicitadas nas etapas seguintes):
    • O tipo de retificação (meia-onda ou onda completa) não foi especificado. Vou tratar os dois casos mais comuns: retificador de meia-onda e retificador de onda completa (ponte de diodos).
    • O enunciado não deu o valor da queda de tensão constante V_D. Como é padrão em problemas práticos, vou calcular resultados gerais em função de V_D e apresentar um cálculo numérico com a escolha típica V_D=0,7\\ \text{V} (silício). Se no seu exercício anterior foi usado outro V_D, substitua pelo valor correto.
  • Observação sobre comparação com a primeira questão: não tenho os números dessa questão anterior; portanto não posso fazer uma comparação numérica direta. Posso, no entanto, explicar como comparar (proporcionalidade) e indicar o efeito da mudança de pico.

Passo 2

Definição do que significa “valor médio” e fórmula para retificação ideal — meia-onda ideal.
  • Conceito: o valor médio (média temporal) de uma tensão periódica v(t) com período T é
\bar{V}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.
  • Para uma senóide de amplitude de pico \,V_m retificada em meia-onda (diode ideal): a saída vale v_{\text{out}}(t)=V_m\sin(\omega t) apenas durante a meia-onda positiva (0\le \omega t\le\pi) e vale zero no resto do período. Usando integração sobre o período T=2\pi/\omega obtém-se a média
\bar{V}_{\text{meia,ideal}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} V_m\sin\theta \,d\theta
(em que substituímos \theta=\omega t). Calculando a integral:
\bar{V}_{\text{meia,ideal}}=\frac{V_m}{2\pi}\Big[ -\cos\theta\Big]_{0}^{\pi}=\frac{V_m}{\pi}.
  • Substituindo \,V_m=200\\ \text{V}:
\bar{V}_{\text{meia,ideal}}=\frac{200}{\pi}\\ \text{V}\approx 63{,}662\\ \text{V}.
(Expliquei cada passo: definição de média, troca para variável angular \theta, integração de \sin\theta.)

Passo 3

Meia-onda com queda de tensão constante V_D (modelo realístico).
  • Física: o diodo conduz apenas quando V_m\sin\theta>V_D. Chamando \theta_D=\arcsin\!\big(\tfrac{V_D}{V_m}\big), a condução ocorre para \theta\in[\theta_D,\pi-\theta_D] dentro da meia-onda positiva (porque a senoide cruza V_D duas vezes por simetria).
  • A saída durante condução é aproximadamente v_{\text{out}}(\theta)=V_m\sin\theta - V_D. Fora desse intervalo a saída é zero.
  • Então a média (em termos angulares) é
\bar{V}_{\text{meia,queda}}=\frac{1}{2\pi}\int_{\theta_D}^{\pi-\theta_D}\big(V_m\sin\theta - V_D\big)\,d\theta.
  • Calculemos a integral simbolicamente:
\int_{\theta_D}^{\pi-\theta_D} V_m\sin\theta\,d\theta = 2V_m\cos\theta_D,
\int_{\theta_D}^{\pi-\theta_D} V_D\,d\theta = V_D(\pi-2\theta_D).
Portanto
\bar{V}_{\text{meia,queda}}=\frac{1}{2\pi}\Big(2V_m\cos\theta_D - V_D(\pi-2\theta_D)\Big).
  • Substituindo \theta_D=\arcsin\!\big(\tfrac{V_D}{V_m}\big) temos a fórmula completa. Agora um cálculo numérico típico com \,V_D=0{,}7\\ \text{V}:
\theta_D=\arcsin\!\Big(\frac{0{,}7}{200}\Big)\approx 0{,}003500\\ \text{rad},
\cos\theta_D\approx 0{,}9999939.
Logo
\bar{V}_{\text{meia,queda}}=\frac{1}{2\pi}\Big(2\cdot200\cdot0{,}9999939 - 0{,}7(\pi-2\cdot0{,}003500)\Big)\\ \text{V}.
Faço as contas passo a passo:
\frac{2\cdot200\cdot0{,}9999939}{2\pi}=\frac{400\cdot0{,}9999939}{2\pi}=\frac{2\cdot200\cdot0{,}9999939}{2\pi}=\frac{2V_m\cos\theta_D}{2\pi}=\frac{V_m\cos\theta_D}{\pi}\approx 63{,}6616\\ \text{V},
\frac{V_D(\pi-2\theta_D)}{2\pi}=\frac{0{,}7(\pi-0{,}007)}{2\pi}\approx 0{,}3493\\ \text{V}.
Subtraindo:
\bar{V}_{\text{meia,queda}}\approx 63{,}6616 - 0{,}3493 \approx 63{,}312\\ \text{V}.
  • Observação prática: com \,V_m=200\\ \text{V} e V_D pequeno, a queda sobre a média é muito pequena (a diferença aqui é \sim 0{,}35\\ \text{V}).

Passo 4

Onda completa — retificador ideal (ponte ideal ou centro-tap ideal).
  • Para retificação em onda completa ideal transformando toda senóide em valores positivos, a média é o dobro da meia-onda ideal:
\bar{V}_{\text{completa,ideal}}=\frac{2V_m}{\pi}.
  • Substituindo \,V_m=200\\ \text{V}:
\bar{V}_{\text{completa,ideal}}=\frac{400}{\pi}\\ \text{V}\approx 127{,}324\\ \text{V}.
  • Intuição: como ambos semiciclos positivos (após retificação) são usados, a média dobra.

Passo 5

Onda completa com queda de tensão constante — ponte de diodos (duas quedas por condução).
  • Para a ponte de diodos cada condução envolve duas junções em série, então a queda efetiva aproximada é 2V_D. A condução ocorre quando V_m\sin\theta>2V_D. Chamando \theta_D=\arcsin\!\big(\tfrac{2V_D}{V_m}\big), a média por período (usando simetria: integrar em 0 a \pi e dividir por \pi) é
\bar{V}_{\text{completa,queda}}=\frac{1}{\pi}\int_{\theta_D}^{\pi-\theta_D}\big(V_m\sin\theta - 2V_D\big)\,d\theta.
  • Integrando:
\bar{V}_{\text{completa,queda}}=\frac{1}{\pi}\Big(2V_m\cos\theta_D - 2V_D(\pi-2\theta_D)\Big).
Ou rearranjando:
\bar{V}_{\text{completa,queda}}=\frac{2V_m}{\pi}\cos\theta_D - 2V_D + \frac{4V_D\theta_D}{\pi},
com \theta_D=\arcsin\!\big(\tfrac{2V_D}{V_m}\big).
  • Cálculo numérico com V_D=0{,}7\\ \text{V}:
2V_D=1{,}4\\ \text{V},\qquad \theta_D=\arcsin\!\Big(\frac{1{,}4}{200}\Big)\approx 0{,}007000\\ \text{rad},
\cos\theta_D\approx 0{,}9999755.
Agora:
\frac{2V_m}{\pi}\cos\theta_D\approx 127{,}3207\\ \text{V},
-2V_D = -1{,}4\\ \text{V},
\frac{4V_D\theta_D}{\pi}\approx \frac{4\cdot0{,}7\cdot0{,}007}{\pi}\approx 0{,}00624\\ \text{V}.
Somando:
\bar{V}_{\text{completa,queda}}\approx 127{,}3207 - 1{,}4 + 0{,}00624 \approx 125{,}9269\\ \text{V}.
  • Observação prática: a perda aproximada é cerca de 2V_D (aqui \approx 1{,}4\\ \text{V}), com uma pequena correção positiva resultante da parte angular.

Passo 6

Comparação com a “primeira questão” e regra prática de comparação se faltarem os números.
  • Eu não tenho os resultados numéricos da primeira questão, portanto não posso fazer uma comparação numérica direta. Se a sua primeira questão tinha pico \,V_{m,\text{antigo}} e média \bar{V}_{\text{antiga}}, então a regra prática (quando o modelo é ideal) é:
\bar{V}\propto V_m,
ou seja, os valores médios escalam linearmente com V_m. Por exemplo, se antes V_{m,\text{antigo}}=V_m/2, então as médias ideais seriam metade das aqui calculadas. Para o caso com queda de diodo, a parte subtraída (aproximadamente V_D por diodo) não escala com V_m, então a razão muda ligeiramente.
  • Conclusão prática para comparar: se quiser que eu compare numericamente, envie os valores/resultados da primeira questão (ou diga qual foi o pico V_m usado lá e se foi meia-onda ou completa e qual V_D foi adotado).

Passo 7

Frequência da tensão de saída quando a entrada tem 100\\ \text{Hz}.
  • Meia-onda: a forma retificada tem pulsos a cada ciclo da entrada — portanto a frequência dos pulsos é igual à frequência da entrada. Logo:
f_{\text{saída, meia-onda}} = f_{\text{entrada}} = 100\\ \text{Hz}.í
  • Onda completa (ponte ou centro-tap): ao retificar ambas meias-ondas a cada período de entrada obtêm-se duas pulsos; a frequência dos pulsos dobra:
f_{\text{saída, completa}} = 2\,f_{\text{entrada}} = 200\\ \text{Hz}.í
  • Explicação simples: retificação absoluta faz com que o conteúdo negativo seja “virado” para positivo, duplicando a taxa de pulsos por segundo.

Passo 8

Resumo prático dos valores calculados (números finais) e observações rápidas.
  • Usei \,V_m=200\\ \text{V} e para o modelo com queda de tensão usei V_D=0{,}7\\ \text{V} (silício). Apresentei as fórmulas gerais caso queira trocar V_D.
  • Observação sobre impacto: com V_m grande (200 V) a influência de uma queda de diodo pequena é praticamente desprezível na meia-onda (diferença ~0,35 V) e pequena na onda completa (diferença ~1,4 V).

Resposta

Meia-onda, ideal: \bar{V}_{\text{meia,ideal}}=\dfrac{200}{\pi}\\ \text{V}\approx 63{,}662\\ \text{V}
Meia-onda, com queda V_D=0{,}7\\ \text{V}: \bar{V}_{\text{meia,queda}}\approx 63{,}312\\ \text{V}
Onda completa (ponte), ideal: \bar{V}_{\text{completa,ideal}}=\dfrac{400}{\pi}\\ \text{V}\approx 127{,}324\\ \text{V}
Onda completa (ponte), com queda V_D=0{,}7\\ \text{V}: \bar{V}_{\text{completa,queda}}\approx 125{,}927\\ \text{V}
Comparação com a primeira questão: não é possível comparar numericamente porque os resultados/valores da primeira questão não foram fornecidos; em geral a média ideal escala linearmente com V_m e a queda de diodo subtrai aproximadamente V_D por diodo (ou 2V_D na ponte).
Frequência da tensão de saída se a entrada for 100\\ \text{Hz}: meia-onda \Rightarrow 100\\ \text{Hz}; onda completa \Rightarrow 200\\ \text{Hz}.

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