Calcule o valor do capacitor de filtro, que deve ser conectado na saída de um retificador de meia onda, para que a carga ( \mathrm{R}=100 \Omega ) seja atendida com ondulação máxima (ripple) de 5 \%. A alimentação do circuito é feita por uma fonte senoidal vs =127 sen (120 \pi \mathrm{t}) \mathrm{V}. Considere diodo ideal.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem resolver ainda).
  • Dado: fonte senoidal v_s(t)=127\operatorname{sen}(120\pi t)\\ \mathrm{V}.
  • Dado: retificador de meia onda (um díodo ideal) com capacitor de filtro na saída e carga R=100\\ \Omega.
  • Dado: ondulação máxima (ripple) permitida 5\%.
  • Pedido: calcular o valor do capacitor de filtro C que garante essa ondulação máxima.
Informações extra úteis que podemos extrair do enunciado (vou usá-las depois):
  • Amplitude de pico da senóide: V_p=127\\ \mathrm{V} (peguei isso da forma 127\operatorname{sen}(\cdot)).
  • A pulsação fornecida é \omega=120\pi\\ \mathrm{rad/s}, então a frequência será f=\dfrac{\omega}{2\pi}.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que acontece e as fórmulas fundamentais (aula prática, bem mastigada).
  1. O capacitor de filtro carrega no ponto de pico da tensão do secundário (por causa do díodo ideal) até aproximadamente V_p. Entre picos, o capacitor fornece corrente à carga e sua tensão cai lentamente até o próximo pico, onde é recarregado. O resultado é uma tensão DC com uma ondulação (ripple) de pico a pico \Delta V.
  2. Aproximação válida para projetos rápidos (e usada em provas): entre dois picos sucessivos a descarga do capacitor é aproximadamente linear (se a descarga for lenta e o ripple pequeno), então podemos usar a relação
i_C = C\frac{dv}{dt}.
Como a corrente que sai do capacitor é a corrente da carga quando o diodo está fechado (entre picos), temos i_C\approx I_{\text{carga}}=\dfrac{V_{dc}}{R} (onde V_{dc} é a tensão média no capacitor). Integrando por um intervalo de tempo \Delta t entre picos, obtemos a queda de tensão
\Delta V = \frac{I_{\text{carga}}\,\Delta t}{C}.
Aqui:
  • \Delta V é o ripple pico a pico (em volts),
  • I_{\text{carga}}=\dfrac{V_{dc}}{R} é a corrente média na carga (assumimos V_{dc} como tensão média no capacitor),
  • \Delta t é o intervalo de tempo entre recargas do capacitor (para meia onda, é o período T=1/f),
  • C é a capacitância que queremos achar.
  1. Definição de ondulação percentual usada aqui (e muito comum em exercícios): a ondulação percentual r é
r=\frac{\Delta V}{V_{dc}}.
No enunciado r_{\max}=5\%=0,05. Vou usar essa definição e mostrar que ela simplifica a equação de projeto.
  1. Observação sobre V_{dc}: para ripple pequeno a forma triangular faz com que a tensão média approximada seja
V_{dc}\approx V_p - \frac{\Delta V}{2}.
Mais abaixo usaremos isso para conferir consistência (não é necessário para encontrar C neste caso, por causa de uma simplificação conveniente).

Passo 3

Montando as equações e isolando C.
Partimos da fórmula da descarga:
\Delta V = \frac{I_{\text{carga}}\,\Delta t}{C}.
Substituindo I_{\text{carga}}=\dfrac{V_{dc}}{R} e \Delta t=T=\dfrac{1}{f} (para meia onda a recarga ocorre uma vez por período),
\Delta V = \frac{V_{dc}}{R}\cdot\frac{1}{f}\cdot\frac{1}{C}.
Reescrevendo,
C = \frac{V_{dc}}{R}\cdot\frac{1}{f}\cdot\frac{1}{\Delta V}\;=\;\frac{1}{fR}\cdot\frac{V_{dc}}{\Delta V}.
Agora use a definição de ondulação percentual r=\dfrac{\Delta V}{V_{dc}}. Isso implica \dfrac{V_{dc}}{\Delta V}=\dfrac{1}{r}. Substituindo:
C=\frac{1}{fR}\cdot\frac{1}{r}=\frac{1}{rRf}.
Observação elegante: V_{dc} cancela, então a capacitância necessária não depende do valor exato de V_{dc} (desde que a aproximação linear e o modelo sejam válidos). Para meia onda usamos \Delta t=T=1/f; para retificador de onda completa teríamos \Delta t=1/(2f) e mudaria a fórmula.

Passo 4

Calculemos numericamente com os dados do enunciado.
  1. Frequência a partir de \omega=120\pi:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{120\pi}{2\pi}=60\\ \mathrm{Hz}.
  1. Substituindo na fórmula \;C=\dfrac{1}{r R f}\; com r=0,05, R=100\\ \Omega, f=60\\ \mathrm{Hz}:
C=\frac{1}{0,05\cdot100\cdot60}.
Calcule o denominador:
0,05\cdot100\cdot60 = 0,05\cdot6000 = 300.
Logo
C=\frac{1}{300}=0,003333\ldots\\ \mathrm{F}.
  1. Converter para unidades usuais:
C\approx 3,333\times10^{-3}\\ \mathrm{F}=3333{,}3\\ \mu\mathrm{F}\approx 3333\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (opcional, mas bom para prova — mostra que tudo bate):
Se C=0,003333\\ \mathrm{F}, a queda de tensão por período será
\Delta V=\frac{I_{\text{carga}}\,T}{C},
onde I_{\text{carga}}=V_{dc}/R e T=1/60. Usando a relação r=\Delta V/V_{dc}=0,05 e resolvendo simultaneamente com V_{dc}\approx V_p-\Delta V/2 obtemos (rapidamente):
V_{dc}=\frac{V_p}{1+ r/2}=\frac{127}{1+0{,}05/2}=\frac{127}{1{,}025}\approx123{,}90\\ \mathrm{V},
\Delta V=0{,}05\cdot V_{dc}\approx6{,}195\\ \mathrm{V},
I_{\text{carga}}=\frac{V_{dc}}{R}\approx1{,}239\\ \mathrm{A},
C=\frac{I_{\text{carga}}\,T}{\Delta V}\approx\frac{1{,}239\cdot(1/60)}{6{,}195}\approx0{,}003333\\ \mathrm{F},
o que confirma o resultado anterior.
Comentário final amigável: deu uma capacitância grande (alguns milhares de microfarads), o que é típico quando se quer ripple pequeno com carga relativamente pesada em retificador de meia onda. Na prática escolheria um valor comercial próximo, por exemplo 3300\\ \mu\mathrm{F} ou 4700\\ \mu\mathrm{F} dependendo da margem desejada.

Resposta

C \approx 3{,}333\times10^{-3}\\ \mathrm{F} = 3333\\ \mu\mathrm{F}

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