Considere os anagramas da palavra COMPUTADOR.
Em quantos anagramas as letras P , U e T aparecem juntas e nessa exata ordem?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o problema pede e o que a palavra nos dá.
  • O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra “COMPUTADOR” em que as letras P, U e T aparecem juntas e exatamente nessa ordem (isto é, como o bloco “PUT”).
  • Informações da palavra:
    • As letras da palavra são: C,O,M,P,U,T,A,D,O,R.
    • O total de letras é 10.
    • A letra O aparece repetida duas vezes; todas as outras letras aparecem uma única vez.

Passo 2

Lembrete das ideias que vamos usar (explicando como pensar na prova).
  • Quando temos n objetos distintos, o número de permutações (ordenações) é n!. Aqui n! significa o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • Se há repetições entre os objetos (por exemplo, uma letra aparece k vezes), para contar as permutações distintas divide-se por k! para eliminar as permutações que trocam essas cópias idênticas entre si.
    • Ex.: com 10 letras onde O aparece duas vezes, o número de anagramas distintos sem restrição seria \dfrac{10!}{2!}.
  • Se queremos que certas letras fiquem juntas e com uma ordem fixa (aqui “PUT”), podemos tratar esse conjunto como um “bloco” que ocupa uma única posição na permutação. Internamente dentro do bloco a ordem é fixa, então não multiplicamos por arranjos internos.

Passo 3

Aplicando a ideia do bloco ao nosso caso.
  • Como queremos que P, U e T apareçam juntas e na ordem PUT, tratamos o triplete PUT como um único bloco (vou chamar de X).
  • Então, em vez de 10 símbolos separados, temos os seguintes itens a permutar: X, C, O, M, A, D, O, R.
  • Contando: isso dá 8 itens no total, porque o bloco X conta como 1 item e as outras 7 letras restantes somam mais 7.
  • Entre esses 8 itens, a letra O aparece 2 vezes (pegamos essa informação do enunciado — a imagem/descrição da palavra mostrava dois O). Todas as outras são distintos.

Passo 4

Contagem das permutações desses 8 itens com a repetição de O.
  • O número de maneiras de ordenar 8 itens onde há uma repetição de 2 idênticos é
\frac{8!}{2!}.
  • Não multiplicamos por nenhum arranjo interno do bloco X porque a ordem dentro dele já está fixada como PUT.

Passo 5

Cálculo numérico final (mostrando passo a passo como fazer sem calculadora, usando fatoriais conhecidos).
  • Primeiro calcule 8!:
8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320.
  • Agora divida por 2!:
\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160.

Resposta

20160

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