Considere os anagramas da palavra COMPUTADOR.
Em quantos anagramas as letras P , U e T aparecem juntas e nessa exata ordem?
Em quantos anagramas as letras P , U e T aparecem juntas e nessa exata ordem?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o problema pede e o que a palavra nos dá.
- O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra “COMPUTADOR” em que as letras
, e aparecem juntas e exatamente nessa ordem (isto é, como o bloco “PUT”). - Informações da palavra:
- As letras da palavra são:
. - O total de letras é
. - A letra
aparece repetida duas vezes; todas as outras letras aparecem uma única vez.
- As letras da palavra são:
Passo 2
Lembrete das ideias que vamos usar (explicando como pensar na prova).
- Quando temos
objetos distintos, o número de permutações (ordenações) é . Aqui significa o produto . - Se há repetições entre os objetos (por exemplo, uma letra aparece
vezes), para contar as permutações distintas divide-se por para eliminar as permutações que trocam essas cópias idênticas entre si. - Ex.: com
letras onde aparece duas vezes, o número de anagramas distintos sem restrição seria .
- Ex.: com
- Se queremos que certas letras fiquem juntas e com uma ordem fixa (aqui “PUT”), podemos tratar esse conjunto como um “bloco” que ocupa uma única posição na permutação. Internamente dentro do bloco a ordem é fixa, então não multiplicamos por arranjos internos.
Passo 3
Aplicando a ideia do bloco ao nosso caso.
- Como queremos que
, e apareçam juntas e na ordem , tratamos o triplete como um único bloco (vou chamar de ). - Então, em vez de
símbolos separados, temos os seguintes itens a permutar: . - Contando: isso dá
itens no total, porque o bloco conta como 1 item e as outras letras restantes somam mais 7. - Entre esses
itens, a letra aparece vezes (pegamos essa informação do enunciado — a imagem/descrição da palavra mostrava dois ). Todas as outras são distintos.
Passo 4
Contagem das permutações desses
itens com a repetição de
.
- O número de maneiras de ordenar
itens onde há uma repetição de idênticos é
- Não multiplicamos por nenhum arranjo interno do bloco
porque a ordem dentro dele já está fixada como .
Passo 5
Cálculo numérico final (mostrando passo a passo como fazer sem calculadora, usando fatoriais conhecidos).
- Primeiro calcule
:
- Agora divida por
: