Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra FUTEBOL?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra FUTEBOL?”\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A palavra tem 7 letras: F, U, T, E, B, O, L.
  • Todas as letras são distintas (nenhuma se repete).

Passo 2

O que o problema está pedindo na prática é: de quantas formas diferentes podemos ordenar as 7 letras distintas. Para isso usamos a ideia de permutação de n objetos distintos. Vou explicar a ideia de forma simples e concreta.
Explicação da ideia multiplicativa (raciocínio passo a passo):
  • Para escolher a primeira letra do anagrama há \,7 opções (qualquer uma das 7 letras).
  • Depois de escolher a primeira, sobram \,6 letras para escolher a segunda posição.
  • Após escolher as duas primeiras, sobram \,5 opções para a terceira posição.
  • E assim sucessivamente até preencher todas as posições.
Portanto o número total de anagramas é o produto \,7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.

Passo 3

Agora formalizo com a definição de fatorial. Para um inteiro positivo n, define-se o fatorial de n, denotado por n!, como
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1.
No nosso caso n=7, então o número de anagramas é \,7!.

Passo 4

Vamos calcular \,7! passo a passo (cada operação escrita para você poder acompanhar na prova sem calculadora):
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1
Cálculos intermediários:
  • 7\cdot6 = 42
  • 42\cdot5 = 210
  • 210\cdot4 = 840
  • 840\cdot3 = 2520
  • 2520\cdot2 = 5040
  • 5040\cdot1 = 5040

Passo 5

Interpretação final: o resultado acima significa que há \,5040 maneiras diferentes de ordenar as 7 letras distintas de FUTEBOL, ou seja, \,5040 anagramas diferentes. Boa! Isso é direto quando as letras não se repetem — se houvesse repetições, teríamos que dividir por fatoriais das repetições, mas aqui não é o caso.

Resposta

5040

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