Um motor elétrico tem uma massa excêntrica de 10 kg ( 10 \% da massa total) está apoiado por duas molas idênticas com rigidez de 3500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O motor opera em 1750 RPM, e a massa excêntrica está a 100 mm do centro do eixo. Determine a amplitude de vibração, negligenciando o amortecimento.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a amplitude de vibração, negligenciando amortecimento:
\;m_e=10\\ \mathrm{kg} (massa excêntrica),
\;m_e corresponde a 10\% da massa total,
rigidez de cada mola \;k_{\text{cada}}=3500\\ \mathrm{N/m},
duas molas idênticas apoiando o motor,
velocidade de rotação 1750\\ \mathrm{RPM},
distância do excêntrico ao eixo \;r=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m}.
Pergunta: determinar a amplitude estável da vibração (desprezando amortecimento).

Passo 2

Determinar a massa total do conjunto a partir de \;m_e ser 10\% da massa total. Se m_e=10\\ \mathrm{kg} e isso é 10\%, então a massa total \;m é
m=\frac{m_e}{0{,}10}=\frac{10}{0{,}10}=100\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a rigidez equivalente das duas molas em paralelo. Molas em paralelo somam rigidezes, logo
k = 2\cdot k_{\text{cada}} = 2\cdot 3500 = 7000\\ \mathrm{N/m}.
Explicação rápida: cada mola fornece força linear F=k_{\text{cada}} x; com duas em paralelo a força total para um deslocamento x é 2k_{\text{cada}} x, logo rigidez total 2k_{\text{cada}}.

Passo 4

Converter a rotação em rad/s. A relação é \omega = 2\pi \dfrac{\text{RPM}}{60}. Assim
\omega = 2\pi\cdot\frac{1750}{60} = \frac{175\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 183,259\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: usamos \omega (rad/s) porque as fórmulas dinâmicas usam velocidade angular em radianos por segundo.

Passo 5

Calcular a força centrífuga (força de excêntrico) máxima gerada pelo excêntrico. A força de excêntrico é senoidal com amplitude
F_0 = m_e\,r\,\omega^2.
Substituindo \;m_e=10\\ \mathrm{kg}, \;r=0{,}100\\ \mathrm{m} e o valor de \omega:
F_0 = 10\cdot 0{,}100\cdot \omega^2 = 1\cdot \omega^2 \approx 1\cdot 33584{,}07 \approx 33584{,}07\\ \mathrm{N}.
Breve nota didática: a expressão vem de F=m_e r \omega^2 (força centrífuga) e o fator 1 aparece porque 10\cdot0{,}1=1.

Passo 6

Escrever a equação do movimento para o deslocamento vertical x(t) do conjunto massa-molas (sem amortecimento) sob ação da força externa senoidal:
m\,\ddot{x} + k\,x = F_0\sin(\omega t),
onde \;m é a massa total ( \mathrm{kg}), \ddot{x} é a aceleração ( \mathrm{m/s^2}), k é a rigidez total ( \mathrm{N/m}) e F_0\sin(\omega t) é a força de excêntrico (N).

Passo 7

Encontrar a solução de regime forçado (particular) para amplitude. Para excitação senoidal, assumimos solução do tipo x_p(t)=X\sin(\omega t). Derivando e substituindo:
\ddot{x}_p = -X\omega^2\sin(\omega t),
m(-X\omega^2\sin\omega t)+k(X\sin\omega t)=F_0\sin\omega t.
Cancelando o \sin\omega t (não nulo em geral), obtemos
X(k - m\omega^2)=F_0.
Portanto a amplitude (valor absoluto) é
X=\left|\frac{F_0}{k - m\omega^2}\right|.
Explicação: a resposta estacionária tem amplitude dada pela razão entre amplitude da força aplicada e a diferença entre rigidez estática e rigidez dinâmica m\omega^2. Tomamos valor absoluto porque amplitude é positiva e k-m\omega^2 pode ser negativo (acima da frequência natural).

Passo 8

Substituir os valores numéricos:
\;F_0\approx 33584{,}07\\ \mathrm{N},
\;k=7000\\ \mathrm{N/m},
\;m=100\\ \mathrm{kg},
\;\omega^2\approx 33584{,}07\\ \mathrm{rad^2/s^2} (como calculado).
Calcular m\omega^2:
m\omega^2 = 100\cdot 33584{,}07 = 3358407{,}0\\ \mathrm{N/m}.
Calcular o denominador e a amplitude:
|k - m\omega^2| = |7000 - 3358407{,}0| = 3351407{,}0\\ \mathrm{N/m}.
X=\frac{33584{,}07}{3351407{,}0}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}010018\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
X\approx 10{,}02\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Interpretação curta e ânimo: o resultado indica que, sem amortecimento, o desequilíbrio gera uma vibração com amplitude cerca de 10{,}0\\ \mathrm{mm}. Isso é razoável porque a frequência de operação é muito alta comparada à frequência natural (a rigidez efetiva dinâmica m\omega^2 domina), fazendo a amplitude ficar relativamente pequena mas ainda notável. Você consegue! lembre-se: o passo-chave é escrever a equação m\ddot{x}+kx=F_0\sin\omega t e usar a solução particular senoidal.

Resposta

X\approx 0{,}01002\\ \mathrm{m} = 10{,}02\\ \mathrm{mm}

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