Um motor elétrico tem uma massa excêntrica de 10 kg ( 10 \% da massa total) está apoiado por duas molas idênticas com rigidez de 3500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O motor opera em 1750 RPM, e a massa excêntrica está a 100 mm do centro do eixo. Determine a amplitude de vibração, negligenciando o amortecimento.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede a amplitude de vibração, negligenciando amortecimento: \;m_e=10\\ \mathrm{kg} (massa excêntrica), \;m_e corresponde a 10\% da massa total,
rigidez de cada mola \;k_{\text{cada}}=3500\\ \mathrm{N/m},
duas molas idênticas apoiando o motor,
velocidade de rotação 1750\\ \mathrm{RPM},
distância do excêntrico ao eixo \;r=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m}.
Pergunta: determinar a amplitude estável da vibração (desprezando amortecimento).
Passo 2
Determinar a massa total do conjunto a partir de \;m_e ser 10\% da massa total. Se m_e=10\\ \mathrm{kg} e isso é 10\%, então a massa total \;m é
Calcular a rigidez equivalente das duas molas em paralelo. Molas em paralelo somam rigidezes, logo
k = 2\cdot k_{\text{cada}} = 2\cdot 3500 = 7000\\ \mathrm{N/m}.
Explicação rápida: cada mola fornece força linear F=k_{\text{cada}} x; com duas em paralelo a força total para um deslocamento x é 2k_{\text{cada}} x, logo rigidez total 2k_{\text{cada}}.
Passo 4
Converter a rotação em rad/s. A relação é \omega = 2\pi \dfrac{\text{RPM}}{60}. Assim
Breve nota didática: a expressão vem de F=m_e r \omega^2 (força centrífuga) e o fator 1 aparece porque 10\cdot0{,}1=1.
Passo 6
Escrever a equação do movimento para o deslocamento vertical x(t) do conjunto massa-molas (sem amortecimento) sob ação da força externa senoidal:
m\,\ddot{x} + k\,x = F_0\sin(\omega t),
onde \;m é a massa total (\mathrm{kg}), \ddot{x} é a aceleração (\mathrm{m/s^2}), k é a rigidez total (\mathrm{N/m}) e F_0\sin(\omega t) é a força de excêntrico (N).
Passo 7
Encontrar a solução de regime forçado (particular) para amplitude. Para excitação senoidal, assumimos solução do tipo x_p(t)=X\sin(\omega t). Derivando e substituindo:
\ddot{x}_p = -X\omega^2\sin(\omega t),
m(-X\omega^2\sin\omega t)+k(X\sin\omega t)=F_0\sin\omega t.
Cancelando o \sin\omega t (não nulo em geral), obtemos
X(k - m\omega^2)=F_0.
Portanto a amplitude (valor absoluto) é
X=\left|\frac{F_0}{k - m\omega^2}\right|.
Explicação: a resposta estacionária tem amplitude dada pela razão entre amplitude da força aplicada e a diferença entre rigidez estática e rigidez dinâmica m\omega^2. Tomamos valor absoluto porque amplitude é positiva e k-m\omega^2 pode ser negativo (acima da frequência natural).
Interpretação curta e ânimo: o resultado indica que, sem amortecimento, o desequilíbrio gera uma vibração com amplitude cerca de 10{,}0\\ \mathrm{mm}. Isso é razoável porque a frequência de operação é muito alta comparada à frequência natural (a rigidez efetiva dinâmica m\omega^2 domina), fazendo a amplitude ficar relativamente pequena mas ainda notável. Você consegue! lembre-se: o passo-chave é escrever a equação m\ddot{x}+kx=F_0\sin\omega t e usar a solução particular senoidal.