Considere um arranjo cilindro - pistão que inicialmente contém 0,5 \mathrm{~kg} de vapor saturado de R-134a a -10^{\circ} \mathrm{C}. O refrigerante é então comprimido até que a pressão atinja 500 kPa num processo politrópico \operatorname{com} \mathrm{n}=1,5. Determine o volume e a temperatura no estado final desse processo. Qual é o trabalho realizado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do refrigerante: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
    • estado inicial: vapor saturado de R-134a à temperatura T_1=-10^\circ\mathrm{C}.
    • processo de compressão politrópico com expoente n=1{,}5.
    • pressão final: P_2=500\\ \mathrm{kPa}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o volume no estado final V_2 (volume total) e o volume específico final v_2.
    2. Determinar a temperatura no estado final T_2.
    3. Determinar o trabalho realizado W durante o processo.
  • Observação importante (informação que falta no enunciado): para obter valores numéricos é necessário conhecer as propriedades termodinâmicas saturadas do R-134a a T_1=-10^\circ\mathrm{C}, em particular a pressão de saturação P_1 e o volume específico do vapor saturado v_{g1}. Esses dados vêm das tabelas de propriedades do R-134a (tabela de saturação). Sem esses valores tabelados não é possível calcular números finais exatos. Abaixo vou mostrar passo a passo o procedimento completo e as fórmulas que permitem calcular V_2,\;T_2 e W assim que P_1 e v_{g1} forem obtidos.

Passo 2

Obter as propriedades no estado 1 (do enunciado):
  • Como o estado inicial é vapor saturado a T_1=-10^\circ\mathrm{C}, da tabela de saturação do R-134a pegue:
    • a pressão de saturação \;P_1 = P_{\text{sat}}(T_1)\; (unidades: \mathrm{kPa} ou \mathrm{Pa});
    • o volume específico do vapor saturado \;v_{g1}=\;v_{\text{g}}(T_1)\; (unidades: \mathrm{m^3/kg}).
  • Defina também o volume total inicial: V_1 = m\,v_{g1}.
(Anote: cuidado com unidades — se P_1 vier em \mathrm{kPa} e for necessário usar \mathrm{Pa}, multiplique por 10^3.)

Passo 3

Relação do processo politrópico e cálculo de V_2.
  • Para um processo politrópico com expoente n vale a relação
P V^{n}=\text{constante}.
  • Assim, entre os estados 1 e 2:
P_1 V_1^{n}=P_2 V_2^{n}.
  • Isolando V_2:
V_2 = V_1 \left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n}.
  • Como V_1 = m\,v_{g1}, também se pode escrever
V_2 = m\,v_{g1}\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n}.
  • O volume específico final v_2 é
v_2=\dfrac{V_2}{m}=v_{g1}\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n}.
Explanação didática curta: a equação P V^n= constante significa que quando a pressão aumenta a volume diminui seguindo essa potência. A fórmula acima transforma essa relação para relacionar diretamente V_2 com V_1 e as pressões.

Passo 4

Determinar a temperatura final T_2.
Existem duas rotas práticas:
  1. Método correto / exato com tabelas:
  • Com P_2 conhecido e v_2 calculado, consulte a tabela de vapor superaquecido do R-134a para a pressão P_2. Na tabela de superaquecido, para a linha P=P_2 localize o valor de v mais próximo de v_2 e leia a temperatura correspondente. Essa será T_2. Este é o método correto porque R-134a não é ideal em muitos estados de superaquecimento.
  1. Método aproximado (se não houver tabela de superaquecido disponível): idealização pelo gás perfeito como aproximação:
  • Use a equação dos gases ideais na forma específica:
T_2 \approx \dfrac{P_2\,v_2}{R},
onde R é a constante específica do refrigerante R-134a. Para R-134a:
\overline{M}\approx 102{,}03\\ \mathrm{kg/kmol}=0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol},
então
R = \dfrac{R_u}{\overline{M}} \approx \dfrac{8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}{0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 81{,}44\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Lembre que P_2 deve estar em \mathrm{Pa} (multiplique \mathrm{kPa} por 10^3) e v_2 em \mathrm{m^3/kg}. O resultado T_2 vem em \mathrm{K}; subtraia 273{,}15 para ter graus Celsius se desejar.
Comentário prático: prefira sempre a consulta à tabela superaquecida; a lei dos gases ideais pode dar erro apreciável dependendo do grau de superaquecimento.

Passo 5

Cálculo do trabalho W (trabalho de limite durante a compressão).
  • O trabalho realizado pela força de pressão num processo de volume variável é
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
  • Usando P V^{n}= constante e integrando, para n\neq 1 obtém-se a expressão fechada
W=\dfrac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n}.
(Nota sobre sinal: esta expressão corresponde ao trabalho realizado pelo gás. Se o processo é de compressão (volume diminui), V_2<V_1 e o valor de W será negativo indicando trabalho realizado sobre o sistema. Se preferir o valor absoluto do trabalho realizado sobre o sistema, tome |W|.)
  • Lembre-se de usar P em \mathrm{Pa} e V em \mathrm{m^3} para que W fique em \mathrm{J}. Para expressar em \mathrm{kJ} divida por 1000.

Passo 6

Resumo das fórmulas finais (prontas para cálculo numérico assim que as propriedades a T_1=-10^\circ\mathrm{C} forem conhecidas):
  • Volume inicial:
V_1 = m\,v_{g1}.
  • Volume final:
V_2 = V_1\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n} = m\,v_{g1}\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n}.
  • Volume específico final:
v_2 = v_{g1}\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n}.
  • Temperatura final:
    • Preferível (exato): consultar tabela superaquecida R-134a na pressão P_2 e achar a temperatura correspondente a v_2.
    • Aproximação (gás ideal):
    T_2 \approx \dfrac{P_2\,v_2}{R},\qquad R\approx 81{,}44\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Trabalho (pelo gás):
W=\dfrac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n}.

Passo 7

Exemplo de uso prático (como proceder em prova):
  1. Na prova, vá direto à tabela do R-134a:
    • Leia P_1=P_{\text{sat}}(-10^\circ\mathrm{C}) e v_{g1}.
  2. Calcule V_1=m v_{g1}.
  3. Use \;V_2 = V_1 (P_1/P_2)^{1/n}\; para achar V_2.
  4. Calcule v_2=V_2/m.
  5. Abra a tabela superaquecida do R-134a para P=500\\ \mathrm{kPa} e localize a temperatura que corresponde a v_2. Se v_2 cair entre valores da tabela, interpole linearmente na tabela de superaquecido para obter T_2.
  6. Calcule W=(P_2V_2-P_1V_1)/(1-n) (lembre-se de usar Pa e m^3).
  7. Se faltar tabela na prova, e for explicitamente permitido aproximar, use T_2\approx P_2 v_2 / R com R fornecido ou com o valor dado acima.
Dica de prova: anote logo os valores lidos da tabela e faça as conversões de unidades antes de aplicar as fórmulas — isso evita erros comuns.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos finais sem as propriedades tabeladas do R-134a a -10^\circ\mathrm{C} (em particular P_1=P_{\text{sat}}(-10^\circ\mathrm{C}) e v_{g1}). As expressões que dão as respostas, prontas para usar com os valores tabelados, são:
V_2 = m\,v_{g1}\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/n}.
T_2 obtido consultando a tabela superaquecida do R -134a à pressão P_2 para o volume específico v_2=\dfrac{V_2}{m} (aproximação ideal-gás: T_2\approx\dfrac{P_2 v_2}{R}, com R\approx81{,}44\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
W=\dfrac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n}, com V_1=m\,v_{g1}.

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