Considere a astroide dada pela equação x^2 / 3+y^2 / 3=1.
(a) Determine uma parametrização para esta astroide.
(b) Determine a área da região delimitada pela astroide.
(c) Determine o perímetro da astroide.

Passo 1

O enunciado trata da astroide definida por
x^2/3+y^2/3=1,
e pede:
(a) uma parametrização;
(b) a área da região interna;
(c) o perímetro da curva.
O conteúdo necessário envolve curvas paramétricas, cálculo de área via Teorema de Green e comprimento de arco.

Passo 2

Uma escolha clássica de parâmetro é usar um ângulo t. Definimos
x(t)=cos^3 t, y(t)=sin^3 t,
para tin[0,2pi]. De fato,
x(t)^2/3=cos^2t, y(t)^2/3=sin^2t
e cos^2t+sin^2t=1, logo a curva descrita satisfaz a equação da astroide.

Passo 3

Para a área A usamos o Teorema de Green na forma
A=12ointC(x,dy - y,dx) =12integral0^2pil(xdydt-ydxdtr),dt
Calculando as derivadas e o integrando:
dxdt=-3cos^2tsin t, dydt=3sin^2tcos t,
xdydt-ydxdt =cos^3t,(3sin^2tcos t) -sin^3t,(-3cos^2tsin t) =3cos^2tsin^2t
Logo
A =12integral0^2pi3cos^2tsin^2t,dt =32integral0^2picos^2tsin^2t,dt
Usando cos^2tsin^2t=tfrac14sin^2(2t) e integral0^2pisin^2(2t),dt=pi, obtemos
A=32cdot14cdotpi =3pi8

Passo 4

Para o perímetro L usamos comprimento de arco:
L=integral0^2piraizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =integral0^2pi3l|cos tsin tr|,dt
Como l|cos tsin tr| é simétrica em cada quadrante,
L =4cdotintegral0^pi/23cos tsin t,dt =12integral0^pi/2cos tsin t,dt =12l[tfrac12sin^2tr]0^pi/2 =6

Resposta

(a) ;x(t)=cos^3t,;y(t)=sin^3t,;tin[0,2pi]
(b) ;A=dfrac3pi8
(c) ;L=6

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