Considere a astroide dada pela equação .
(a) Determine uma parametrização para esta astroide.
(b) Determine a área da região delimitada pela astroide.
(c) Determine o perímetro da astroide.
Passo 1
O enunciado trata da astroide definida por
e pede:
(a) uma parametrização;
(b) a área da região interna;
(c) o perímetro da curva.
O conteúdo necessário envolve curvas paramétricas, cálculo de área via Teorema de Green e comprimento de arco.
Passo 2
Uma escolha clássica de parâmetro é usar um ângulo . Definimos
para . De fato,
e , logo a curva descrita satisfaz a equação da astroide.
Passo 3
Para a área usamos o Teorema de Green na forma
Calculando as derivadas e o integrando:
Logo
Usando e , obtemos
Passo 4
Para o perímetro usamos comprimento de arco:
Como l|cos tsin tr| é simétrica em cada quadrante,
L =4cdotintegral0^pi/23cos tsin t,dt =12integral0^pi/2cos tsin t,dt =12l[tfrac12sin^2tr]0^pi/2 =6