Resolver x^3+x^2-5 equiv 0(bmod 7^3).

Passo 1

Resumindo: queremos resolver a congruência
x^3 + x^2 - 5 equiv 0 pmod7^3
Usaremos o Lema de Hensel, elevando uma solução de módulo 7 para módulo 49 e depois para módulo 343.

Passo 2

Primeiro, achamos soluções de
f(x)=x^3 + x^2 - 5 equiv 0 pmod7
Testando x=0,1,dots,6 xequiv2pmod7 satisfaz f(x)equiv0. A derivada é
f'(x)=3x^2+2x,
e em x=2 temos f'(2)=3cdot4+4=16equiv2pmod7neq0, o que garante unicidade e permite aplicar Hensel.

Passo 3

Agora levantamos para módulo 7^2=49. Seja x0=2. Pelo Lema de Hensel usamos
x1 = x0 + 7k, k equiv -f(x0)7cdotl(f'(x0)r)^-1pmod7
Como f(2)=8+4-5=7 temos f(2)/7=1 e f'(2)equiv2 com inverso 2^-1equiv4pmod7. Logo
k equiv -1cdot4 equiv3pmod7,
e
x1 = 2 + 7cdot3 = 23 pmod49

Passo 4

Elevamos para módulo 7^3=343. Com x1=23 calculamos
f(23)=23^3+23^2-5=12691=49cdot259,
logo f(23)/49=259. A derivada é
f'(23)=3cdot23^2+2cdot23=1633equiv2pmod7,
com inverso 2^-1equiv4. Então
k equiv -259cdot4 equiv0pmod7
(pois 259equiv0pmod7). Assim
x2 = 23 + 49cdot0 = 23 pmod343

Resposta

A única solução é
x equiv 23 pmod343

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