Considere um átomo de Hidrogênio (
) de massa reduzida
, a função radial deste elétron,
quando
(valor máximo permitido de
) é dada por
. Para o caso em que
, qual é o valor do raio médio em unidades de
para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade
na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral
Passo 1
O enunciado pede o raio médio (valor esperado de
) para o elétron com
e
usando a função radial dada. Dados fornecidos:
- A função radial para
é
- Quer-se o valor de
para , em unidades de (ou seja, responder apenas com o número). - Dica útil: a integral
Passo 2
Vamos escrever a definição do raio médio. O valor esperado de
em coordenadas esféricas para uma função de onda
é dado por
Ao separar as variáveis e integrar ângulos (onde
) obtemos a forma radial:
Aqui estamos interessados em
, logo usaremos
.
Passo 3
Substituímos
em
. O quadrado da constante normalizadora é
O resto da função ao quadrar dá
. Portanto o integrando fica
Passo 4
Escrevemos a integral para
:
Agora aplicamos a dica: a integral tem a forma
. Precisamos colocar o expoente no formato
.
Passo 5
Identificamos
para escrever
. Basta escolher
pois então
. O expoente da integral é
. Usando a fórmula dada:
Passo 6
Substituindo esse resultado em
temos
Passo 7
Agora simplificamos a expressão. Combine as potências:
E simplificando os fatoriais:
Logo
Passo 8
Agora colocamos
. Substituindo:
Passo 9
Convertendo para valor numérico (em unidades de
) temos