Considere um átomo de Hidrogênio ( \mathrm{Z}=1 ) de massa reduzida \mu, a função radial deste elétron, R_{n, l}(r) quando l=n-1 (valor máximo permitido de l ) é dada por
R_{n, n-1}(r)=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{\frac{(2 n+1)}{2}} \frac{1}{\sqrt{(2 n)!}} r^{n-1} e^{-r / n a_{0}}. Para o caso em que n=7, qual é o valor do raio médio em unidades de a_{0} para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade a_{0} na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral \int_{0}^{+\infty} r^{m} e^{-r / \alpha} d r=m!\alpha^{m+1}

Passo 1

O enunciado pede o raio médio (valor esperado de r) para o elétron com n=7 e l=n-1 usando a função radial dada. Dados fornecidos:
  • A função radial para l=n-1 é
R_{n,n-1}(r)=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{\frac{2n+1}{2}}\frac{1}{\sqrt{(2n)!}}\,r^{n-1}e^{-r/(n a_{0})}.
  • Quer-se o valor de \langle r\rangle para n=7, em unidades de a_{0} (ou seja, responder apenas com o número).
  • Dica útil: a integral
\int_{0}^{\infty} r^{m}e^{-r/\alpha}dr=m!\,\alpha^{m+1}.

Passo 2

Vamos escrever a definição do raio médio. O valor esperado de r em coordenadas esféricas para uma função de onda \psi(\mathbf r)=R_{n,l}(r)Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) é dado por
\langle r\rangle=\int \psi^{*}(\mathbf r)\,r\,\psi(\mathbf r)\,d^{3}r.
Ao separar as variáveis e integrar ângulos (onde \int |Y_{l}^{m}|^{2}d\Omega=1) obtemos a forma radial:
\langle r\rangle=\int_{0}^{\infty} |R_{n,l}(r)|^{2}\,r^{3}\,dr.
Aqui estamos interessados em l=n-1, logo usaremos R_{n,n-1}.

Passo 3

Substituímos R_{n,n-1}(r) em |R|^{2}. O quadrado da constante normalizadora é
\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}.
O resto da função ao quadrar dá r^{2(n-1)}e^{-2r/(n a_{0})}. Portanto o integrando fica
|R_{n,n-1}(r)|^{2}r^{3}=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}\; r^{2n+1}\; e^{-2r/(n a_{0})}.

Passo 4

Escrevemos a integral para \langle r\rangle:
\langle r\rangle=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}\int_{0}^{\infty} r^{2n+1} e^{-2r/(n a_{0})}\,dr.
Agora aplicamos a dica: a integral tem a forma \int_{0}^{\infty} r^{m}e^{-r/\alpha}dr. Precisamos colocar o expoente no formato e^{-r/\alpha}.

Passo 5

Identificamos \alpha para escrever e^{-2r/(n a_{0})}=e^{-r/\alpha}. Basta escolher
\alpha=\frac{n a_{0}}{2},
pois então r/\alpha=2r/(n a_{0}). O expoente da integral é m=2n+1. Usando a fórmula dada:
\int_{0}^{\infty} r^{2n+1} e^{-2r/(n a_{0})}\,dr=(2n+1)!\,\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{2n+2}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em \langle r\rangle temos
\langle r\rangle=\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n)!}\,(2n+1)!\,\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{2n+2}.

Passo 7

Agora simplificamos a expressão. Combine as potências:
\left(\frac{2}{n a_{0}}\right)^{2n+1}\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{2n+2}=\left(\frac{n a_{0}}{2}\right)^{1}=\frac{n a_{0}}{2}.
E simplificando os fatoriais:
\frac{(2n+1)!}{(2n)!}=2n+1.
Logo
\langle r\rangle=(2n+1)\cdot\frac{n a_{0}}{2}=\frac{n(2n+1)}{2}\,a_{0}.

Passo 8

Agora colocamos n=7. Substituindo:
\langle r\rangle=\frac{7\,(2\cdot7+1)}{2}\,a_{0}=\frac{7\cdot15}{2}\,a_{0}=\frac{105}{2}\,a_{0}.

Passo 9

Convertendo para valor numérico (em unidades de a_{0}) temos
\langle r\rangle=52{,}5\quad(\text{em unidades de }a_{0}).

Resposta

52{,}5

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