O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda \Psi_{n, l, m_{l}, m_{s}}(r, \theta, \varphi), onde n, l, m_{l} e m_{s} são os números quânticos e r, \theta e \varphi são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por E_{n}=-\frac{k e^{2}}{2 a_{0}} \frac{1}{n^{2}}. Quantos estados quânticos de ocupação existem para n=4 levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos estados quânticos distintos existem para o átomo de Hidrogênio quando o número quântico principal é n=4, considerando todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos \,n\,,\,l\,,\,m_{l}\,,\,m_{s}\,.
Informações fornecidas/úteis do enunciado:
  • O número quântico principal está fixado em \,n=4\,.
  • Os outros três números quânticos \,l\,,\,m_{l}\,,\,m_{s}\, variam segundo as regras padrão (essas regras serão detalhadas e justificadas nos passos seguintes).

Passo 2

Definir claramente cada número quântico e os valores permitidos (isso é essencial para contar estados):
  • O número quântico principal \,n\, é um inteiro positivo. Aqui \,n=4\, está fixo.
  • O número quântico azimutal (orbital) \,l\, pode assumir os valores inteiros l=0,1,2,\dots,n-1.Para \,n=4\, isso dá \,l=0,1,2,3.
    Explicação didática: \,l\, determina a forma do orbital (s, p, d, f correspondem a l=0,1,2,3). Não precisamos saber fisicamente além disso para contar estados — só a regra dos valores permitidos.
  • O número quântico magnético \,m_{l}\, para cada \,l\, varia por inteiros entre m_{l}=-l,\; -l+1,\; \dots,\; 0,\; \dots,\; l-1,\; l.Portanto o número de valores possíveis de \,m_{l}\, para um dado \,l\, é 2l+1.Explicação: são as orientações possíveis do momento angular orbital no espaço.
  • O número quântico de spin \,m_{s}\, para o elétron tem dois valores possíveis: m_{s}=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_{s}=-\tfrac{1}{2},então há exatamente 2 possibilidades de spin. Explicação: elétron é férmion de spin 1/2, logo duas projeções.

Passo 3

Contagem por nível \,l\,: para cada valor fixo de \,l\, o número de estados distintos (considerando m_{l} e m_{s}) é
\text{estados por }l=(\text{nº de }m_{l})\times(\text{nº de }m_{s})=(2l+1)\times 2.ºº
Agora somamos sobre todos os l permitidos para n=4, ou seja l=0,1,2,3. Portanto o total é
\text{Total}=\sum_{l=0}^{3} 2(2l+1).

Passo 4

Calcular explicitamente a soma para \,n=4\,:
\sum_{l=0}^{3} 2(2l+1)=2\bigl[(2\cdot0+1)+(2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)+(2\cdot3+1)\bigr].
Avalia passo a passo:
(2\cdot0+1)=1,\qquad (2\cdot1+1)=3,\qquad (2\cdot2+1)=5,\qquad (2\cdot3+1)=7.
Somando:
1+3+5+7=16.
Multiplicando por 2:
2\times 16=32.

Passo 5

Uma forma mais geral e rápida (útil para provas): para um dado \,n\, vale
\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^{2},
pois
\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=2\sum_{l=0}^{n-1}l+\sum_{l=0}^{n-1}1=2\cdot\frac{(n-1)n}{2}+n=n^{2}.
Como há mais o fator 2 do spin, o total de estados para um nível n é
2n^{2}.
Substituindo \,n=4\, fornece \,2\cdot 4^{2}=2\cdot16=32\,, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

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