O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda
, onde
e
são os números quânticos e
e
são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por
. Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos estados quânticos distintos existem para o átomo de Hidrogênio quando o número quântico principal é
, considerando todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos
.
Informações fornecidas/úteis do enunciado:
Informações fornecidas/úteis do enunciado:
- O número quântico principal está fixado em
. - Os outros três números quânticos
variam segundo as regras padrão (essas regras serão detalhadas e justificadas nos passos seguintes).
Passo 2
Definir claramente cada número quântico e os valores permitidos (isso é essencial para contar estados):
- O número quântico principal
é um inteiro positivo. Aqui está fixo. - O número quântico azimutal (orbital)
pode assumir os valores inteiros Para isso dá .
Explicação didática:determina a forma do orbital (s, p, d, f correspondem a ). Não precisamos saber fisicamente além disso para contar estados — só a regra dos valores permitidos. - O número quântico magnético
para cada varia por inteiros entre Portanto o número de valores possíveis de para um dado é Explicação: são as orientações possíveis do momento angular orbital no espaço. - O número quântico de spin
para o elétron tem dois valores possíveis: então há exatamente possibilidades de spin. Explicação: elétron é férmion de spin , logo duas projeções.
Passo 3
Contagem por nível
: para cada valor fixo de
o número de estados distintos (considerando
e
) é
Agora somamos sobre todos os
permitidos para
, ou seja
. Portanto o total é
Passo 4
Calcular explicitamente a soma para
:
Avalia passo a passo:
Somando:
Multiplicando por
:
Passo 5
Uma forma mais geral e rápida (útil para provas): para um dado
vale
pois
Como há mais o fator
do spin, o total de estados para um nível
é
Substituindo
fornece
, confirmando o cálculo anterior.
Resposta
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