Considere
e
conjuntos em
(que podem ser o próprio
). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de
para que
seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que
seja injetora.)
;
Passo 1
O enunciado pede que a restrição de domínio
seja a maior (ou seja, exclua apenas onde
não faz sentido) de modo que
seja injetora, e que o contradomínio
seja exatamente a imagem
para garantir bijeção. A função dada é
O conteúdo envolve: (i) determinar onde esta fração está definida, (ii) verificar injetividade nesse domínio, (iii) resolver
para encontrar os valores de
que não ocorrem (isto é, a imagem).
Passo 2
Primeiro, restringimos o domínio retirando os zeros do denominador:
Logo, a maior escolha para que
esteja bem definida é
Em
, podemos simplificar a expressão (removendo o fator comum
, lembrando que
já foi excluído):
Como a função
satisfaz
concluímos que
é injetora em
.
Passo 3
Para achar a imagem, resolvemos
Queremos os
tais que
caia em
. Dois obstáculos aparecem:
- Se
, não existe (divisão por zero). - Se
, então
e
foi excluído de
.
Fora esses dois casos, para todo existe exatamente um
. Portanto a imagem é
Fora esses dois casos, para todo
Resposta
O par
que torna
bijetora é