Considere A e B conjuntos em \mathbb{R} (que podem ser o próprio \mathbb{R} ). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de f para que f: A \rightarrow B seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que f seja injetora.)
f: A \rightarrow B, f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1};

Passo 1

O enunciado pede que a restrição de domínio A\subset\mathbb{R} seja a maior (ou seja, exclua apenas onde f não faz sentido) de modo que f seja injetora, e que o contradomínio B seja exatamente a imagem f(A) para garantir bijeção. A função dada é
f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}.
O conteúdo envolve: (i) determinar onde esta fração está definida, (ii) verificar injetividade nesse domínio, (iii) resolver y=f(x) para encontrar os valores de y que não ocorrem (isto é, a imagem).

Passo 2

Primeiro, restringimos o domínio retirando os zeros do denominador:
x^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Logo, a maior escolha para que f esteja bem definida é
A=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
Em A, podemos simplificar a expressão (removendo o fator comum x+1, lembrando que x=-1 já foi excluído):
f(x)=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}\quad(x\in A).
Como a função x\mapsto1/(x-1) satisfaz
\frac{1}{a-1}=\frac{1}{b-1}\quad\Longrightarrow\quad a-1=b-1\quad\Longrightarrow\quad a=b,
concluímos que f é injetora em A.

Passo 3

Para achar a imagem, resolvemos
y=\frac{1}{x-1} \quad\Longrightarrow\quad x=1+\frac{1}{y}.
Queremos os y tais que x caia em A. Dois obstáculos aparecem:
  1. Se y=0, não existe x (divisão por zero).
  2. Se y=-\tfrac12, então
x=1+\frac{1}{-1/2}=1-2=-1,
e x=-1 foi excluído de A.
Fora esses dois casos, para todo y\in\mathbb{R}\setminus\{0,-\tfrac12\} existe exatamente um x\in A. Portanto a imagem é
B=f(A)=\mathbb{R}\setminus\Bigl\{0,\,-\tfrac12\Bigr\}.

Resposta

O par (A,B) que torna f\colon A\to B bijetora é
A = \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}, \qquad B = \mathbb{R}\setminus\Bigl\{0,\,-\tfrac12\Bigr\}.

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