Considere A e B conjuntos em \mathbb{R} (que podem ser o próprio \mathbb{R} ). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de f para que f: A \rightarrow B seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que f seja injetora.)
f: A \rightarrow B, f(x)=\frac{1}{|x|};

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos conjuntos A e B\subseteq\mathbb{R} de modo que
f\colon A\to B,\qquad f(x)=\frac1{|x|}
seja bijetora. Para isso precisamos garantir injetividade (não ter x\neq y com f(x)=f(y)) e sobrejetividade (imagem igual a B).

Passo 2

Analisando a injetividade, se
\frac1{|x_1|}=\frac1{|x_2|},
então |x_1|=|x_2|, o que dá x_1=x_2 ou x_1=-x_2. Para evitar a ambiguidade x versus -x, devemos escolher A sem incluir simultaneamente x e -x). Além disso x\neq0, pois \tfrac1{|x|} não está definida em 0.

Passo 3

Uma escolha natural e “máxima” para garantir injetividade é tomar a semirreta positiva, ou seja
A = (0,\infty).
Nesse conjunto não há pares x\neq y tais que |x|=|y|, e a função está bem definida (não passa por 0).

Passo 4

Agora vemos a imagem de f quando x varia em (0,\infty).
Quando x\to0^+, \tfrac1{x}\to+\infty.
Quando x\to+\infty, \tfrac1{x}\to0^+.
Logo
f\bigl((0,\infty)\bigr)=(0,\infty).
Para que f seja sobrejetora, basta então escolher
B=(0,\infty).

Passo 5

Com A=(0,\infty) e B=(0,\infty), f é injetora (não há colisão x\neq y) e sobrejetora (a imagem cobre todo (0,\infty)). Portanto f é bijetora.

Resposta

A = (0,\infty)
B = (0,\infty)

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