Considere uma barra homôgenea de massa M que está em repouso e sustentada por dois blocos pequenos de massa m.
a) Descreva as forças que atuam em cada um dos três objetos do sistema.
b) Considere o equilíbrio de forças em cada um dos objetos. Obtenha 3 das 4 incógnitas do problema
c) Calcule o equilíbrio de torques em relação ao centro de massa da barra de massa M para determinar a força. Considere que um bloco está a uma distância b e outro a uma distância \tilde{b} do centro de massa da barra M.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma barra homogênea de massa M apoiada em repouso sobre dois blocos idênticos de massa m, que por sua vez tocam o chão. Os blocos estão a distâncias b e \tilde b do centro de massa da barra. Vamos tratar de
• (a) desenhar o diagrama de forças em cada objeto;
• (b) escrever as equações de equilíbrio de forças para a barra e para cada bloco, obtendo três relações entre as quatro incógnitas (as forças de contato e as normais do chão);
• (c) usar o equilíbrio de torques na barra em relação ao seu centro de massa para determinar a quarta incógnita (as forças nos apoios da barra).

Passo 2

a) Diagrama de forças
– Para a barra de massa M:
• peso \;M g atuando para baixo no centro de massa;
• reação vertical F_{1} do bloco esquerdo atuando para cima, a uma distância b do centro;
• reação vertical F_{2} do bloco direito atuando para cima, a uma distância \tilde b do centro.
– Para cada bloco (índice i=1,2):
• peso \;m g atuando para baixo no bloco;
• força F_{i} que a barra exerce para baixo sobre o bloco (igual em módulo à reação que o bloco exerce na barra);
• reação normal N_{i} do chão atuando para cima sobre o bloco.

Passo 3

b) Equilíbrio de forças verticais
– Na barra, como não há aceleração vertical:
F_{1} + F_{2} - M g = 0
ou seja
F_{1} + F_{2} = M g.
– Em cada bloco i, também sem aceleração vertical:
N_{i} - m g - F_{i} = 0 \quad\Longrightarrow\quad N_{i} = m g + F_{i},
para i=1,2.
Com isso temos três equações que relacionam as quatro incógnitas F_{1},F_{2},N_{1},N_{2}.

Passo 4

c) Equilíbrio de torques na barra em relação ao seu centro de massa
Escolhendo o sentido anti-horário como positivo, a soma dos torques deve ser zero:
F_{2}\,b \;-\; F_{1}\,\tilde b \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad F_{1}\,\tilde b = F_{2}\,b.
Juntando com F_{1}+F_{2}=M g, resolvemos para F_{1} e F_{2}:
F_{1} = \frac{\tilde b}{\,b + \tilde b\,}\;M g, \qquad F_{2} = \frac{b}{\,b + \tilde b\,}\;M g.
Em seguida, das equações dos blocos:
N_{1} = m g + F_{1}, \qquad N_{2} = m g + F_{2}.

Resposta

F_{1} = \frac{\tilde b}{b + \tilde b}\,M g, \quad F_{2} = \frac{b}{b + \tilde b}\,M g,
N_{1} = m g + \frac{\tilde b}{b + \tilde b}\,M g, \quad N_{2} = m g + \frac{b}{b + \tilde b}\,M g.

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