Considere um bloco de massa m em um plano inclinado. Não há atrito entre o plano e o bloco. Mostre em que condições o bloco irá deslizar sem tombar. Considere que o bloco tem altura 2 h e base 2 b e que o centro de massa está localizado em no centróide geométrico. Boa sorte com as explicações.

Passo 1

O enunciado coloca um bloco retangular de massa m apoiado num plano inclinado de ângulo \varphi, sem atrito, com base de comprimento 2b (medido ao longo do plano) e altura 2h. O centro de massa \mathrm{CM} fica no centróide, isto é, a meio da base e a meio da altura.
Conteúdo que vamos usar:
• Para deslize, basta ver que, sem atrito, qualquer componente de peso paralela ao plano faz o bloco escorregar.
• Para tombamento, usamos o critério de que a linha de ação do peso deve cair dentro do “polígono de apoio” (a base de contato): se ela passar para fora, gera momento não anulado e o bloco gira (tomba).

Passo 2

Porque não há atrito, a força resultante paralela ao plano é
F_{\text{par}}=m\,g\sin\varphi,
que é positiva sempre que \varphi>0. Logo, para qualquer \varphi>0 o bloco não fica parado: ele desliza sobre o plano.

Passo 3

Para ver quando ele tomba, introduzimos um sistema de eixos ligados ao plano:
– eixo “normal” x perpendicular à superfície do plano;
– eixo “tangencial” y apontando no sentido para baixo do plano.
O \mathrm{CM} está a uma distância h ao longo de x acima do plano e a meio da base em y. A linha de ação do peso é vertical (no espaço), mas, projetada em coordenadas do plano, ela intersecta o plano num ponto cuja distância y ao centro vale
y = h \,\tan\varphi.
Esse cálculo vem de escrever a reta de ação de mg e achar onde ela atinge o x=0.

Passo 4

A base de apoio vai de y=-b (borda de cima) até y=+b (borda de baixo). Para que não haja momento de tombamento, o ponto de interseção tem de ficar dentro desse segmento, ou seja
|y|\le b \quad\Longrightarrow\quad h\,\tan\varphi \le b \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi \le \frac{b}{h}.

Passo 5

Resumindo, o bloco sempre desliza se \varphi>0 (sem atrito não há equilíbrio estático), mas não tomba desde que
\tan\varphi \le \frac{b}{h} \quad\bigl(\varphi \le \arctan(\tfrac b h)\bigr).
Se \varphi>\arctan(b/h), a linha de peso cai fora da base e o bloco acaba tombando durante o movimento.

Resposta

O bloco desliza para qualquer \varphi>0. Ele não tomba desde que
\tan\varphi \le \frac{b}{h} \quad\bigl(\varphi \le \arctan(\tfrac b h)\bigr).
Caso \varphi>\arctan(b/h), ele desliza e tomba.

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