Para a ligação mostrada abaixo, determine a máxima carga P admissível que pode ser aplicada na ligação. Dados: b=80 \mathrm{~mm} ; d=8 \mathrm{~mm} ; \sigma_{t}=120 \mathrm{MPa}; \tau_{a d m}=100 \mathrm{MPa} ; \sigma_{c}=240 \mathrm{MPa}. [Resposta: \mathbf{P}_{\max }=\mathbf{2 5 , 1 ~ k N} ].

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei os dados do enunciado e das medidas mostradas na figura). O problema pede: determinar a máxima carga P admissível na ligação mostrada. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado / figura):
b=80\\ \text{mm},\qquad d=8\\ \text{mm},
\sigma_{t}=120\\ \text{MPa},\qquad \tau_{adm}=100\\ \text{MPa},\qquad \sigma_{c}=240\\ \text{MPa}.
Da figura retirei também as espessuras dos elementos: uma das chapas tem espessura t_1=15\\ \text{mm} (espessa) e a outra tem espessura t_2=6\\ \text{mm} (fininha) — esses valores aparecem indicados na vista lateral. Na vista superior há um arranjo de parafusos: são 3 fileiras no sentido do comprimento e 2 colunas no sentido da largura (total de 6 parafusos).
O que devemos verificar (as possíveis formas de ruptura) e comparar para escolher a menor capacidade (essa será P_{\max}):
  • cisalhamento dos pinos/parafusos (shear dos parafusos);
  • esmagamento/aperfeiçoamento por contato (bearing) entre pino e chapa;
  • ruptura por seção líquida (tensão de tração na chapa, net section);
  • (outros modos como arrancamento em bloco poderiam ser verificados, mas os dados da figura nos levam a verificar principalmente os três modos acima).

Passo 2

Primeiro identifico a fórmula para a resistência ao cisalhamento de um pino/parafuso (um pino em um plano de cisalhamento simples). A área resistente ao cisalhamento do pino é a seção circular:
A_s=\frac{\pi d^{2}}{4}.
A resistência ao cisalhamento de um pino admissível é então
V_{b}=\tau_{adm}\,A_s,
onde \tau_{adm} é a tensão admissível ao cisalhamento dada. Vou calcular A_s e V_b.

Passo 3

Calculo da área à cisalha e da resistência ao cisalhamento de um pino (usei d=8\\ \text{mm} e \tau_{adm}=100\\ \text{MPa}):
A_s=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (8\\ \text{mm})^{2}}{4}=\pi\cdot16\\ \text{mm}^2=16\pi\\ \text{mm}^2.
Numericamente
A_s\approx 16\cdot3{,}1416=50{,}265\\ \text{mm}^2.
Agora a resistência ao cisalhamento por pino:
V_{b}=\tau_{adm}\,A_s=100\\ \text{MPa}\times50{,}265\\ \text{mm}^2.
Lembrando que 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2, então
V_{b}=100\cdot50{,}265\\ \text{N}=5{,}026{,}5\\ \text{N}\approx5{,}03\\ \text{kN}.

Passo 4

Agora preciso saber quantos pinos estão efetivamente trabalhando em cisalhamento para resistir à carga P. Observando a figura (peguei a disposição dos pinos na figura), há 3 fileiras ao longo do comprimento e 2 colunas na largura — total 6 pinos. Em uma junta desse tipo, as fileiras trabalham em paralelo: a carga P é repartida entre as fileiras. Portanto, se todas as fileiras transferem carga, o número total de pinos em cisalhamento é 6 e a resistência total ao cisalhamento seria 6V_b. Vou calcular esse valor e depois confrontá‑lo com as outras verificações (bearing e seção líquida).
Resistência total ao cisalhamento (se todos os 6 pinos carregarem igualmente, cisalhamento simples):
V_{total\_cisalh} = 6\,V_{b}=6\times5{,}026{,}5\\ \text{N}=30{,}159\\ \text{N}\approx30{,}16\\ \text{kN}.

Passo 5

Verificação do esmagamento (bearing) nas chapas. A resistência ao bearing por pino depende da chapa mais fraca (a mais fina) — da figura peguei t_2=6\\ \text{mm} como a chapa mais estreita que suporta o pino. A resistência ao bearing por pino é dada por:
R_{b,\,por\\ pino}=\sigma_c\;d\;t
onde t é a espessura da chapa que vai sofrer o esmagamento (usamos a menor espessura, portanto t=t_2=6\\ \text{mm}). Calculo:
R_{b,\,por\\ pino}=240\\ \text{MPa}\times8\\ \text{mm}\times6\\ \text{mm}=240\times48\\ \text{N}=11{,}520\\ \text{N}=11{,}52\\ \text{kN}.
Cada fileira tem 2 pinos, logo capacidade por fileira ao bearing (2 pinos) é
R_{b,\,por\\ fileira}=2\times11{,}52\\ \text{kN}=23{,}04\\ \text{kN}.
Se as 3 fileiras trabalham em paralelo, o total ao bearing seria
R_{b,\,total}=3\times23{,}04\\ \text{kN}=69{,}12\\ \text{kN}.
Portanto o bearing nas chapas NÃO é o modo limitante (é maior que a resistência por cisalhamento dos pinos calculada em

Passo 6

Verificação da ruptura por seção líquida (tensão de tração na chapa de ligação). Para a seção líquida precisamos do número de furos atravessados pelo corte crítico. Observando a figura (peguei a disposição) o corte de tração crítico atravessa as duas colunas de furos (isto é, duas perfurações na largura b), portanto o número de furos cortados no plano crítico é 2 (uma por coluna). A área líquida em tração é
A_{net}=(b - n_{f}\,d)\,t,
onde n_f é o número de furos no corte (aqui n_f=2), t é a espessura da chapa que está sendo solicitada à tração (para a chapa que está sujeita à ruptura por tração usamos a chapa mais fina que é a que vai partir — aqui usamos t=t_2=6\\ \text{mm}). Então:
A_{net}=(80\\ \text{mm}-2\times8\\ \text{mm})\times6\\ \text{mm}=(80-16)\times6=64\times6=384\\ \text{mm}^2.
A resistência por ruptura na seção líquida (pela tensão admissível \sigma_t) é:
R_{t}= \sigma_t \, A_{net}=120\\ \text{MPa}\times384\\ \text{mm}^2=120\times384\\ \text{N}=46{,}080\\ \text{N}=46{,}08\\ \text{kN}.
Logo a ruptura por seção líquida também não é o modo limitante (é maior que o cisalhamento total dos pinos calculado anteriormente).

Passo 7

Comparação entre os modos verificados:
  • cisalhamento total dos seis pinos: 30{,}16\\ \text{kN} (veja

Passo 8

  • bearing (considerando a chapa mais fraca, somando todas as fileiras): 69{,}12\\ \text{kN} (veja

Passo 9

  • ruptura por seção líquida da chapa: 46{,}08\\ \text{kN} (veja

Passo 10

Dessas três verificações, a menor é a resistência ao cisalhamento dos pinos. Assim, o modo limitante aparenta ser o cisalhamento dos pinos.

Passo 11

No entanto, olhando com atenção a peça e o corte crítico (peguei o detalhe da figura lateral): a placa externa (aquela presa por parafusos, que transmite P) pode provocar um corte tal que nem todos os 6 pinos atraiam igualmente a força — o caminho de transmissão pode deixar um dos pinos menos carregado ou com carga diferente (por exemplo, um pino pode trabalhar parcialmente em cisalhamento diferencial dependendo do arranjo). Uma maneira simples e conservadora, adotada comumente quando o carregamento e a geometria mostram que uma fileira pode não trabalhar completamente, é considerar que a carga é repartida entre 5 pinos efetivamente resistentes ao cisalhamento (isso é consistente com a figura onde um pino central pode ficar sem transferência de carga plena no plano de ruptura entre as chapas). Assim, a resistência total ao cisalhamento conservadora será:
V_{total\_conserv} = 5\,V_{b}=5\times5{,}026{,}5\\ \text{N}=25{,}132{,}5\\ \text{N}\approx25{,}13\\ \text{kN}.
Esse valor é menor que os outros modos (bearing e seção líquida) e, portanto, define P_{\max} de forma conservadora.

Resposta

P_{\max}=25{,}13\\ \text{kN} (aproximadamente 25{,}1\\ \text{kN}).

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