Duas partes de um elemento estrutural A B estão coladas ao longo de um plano formando um ângulo \theta com a horizontal. Considerando que as tensões de ruptura à tração e ao cisalhamento da junta colada são, respectivamente, 17,2 MPa e 9 MPa , pede-se: a) a inclinação \theta que otimiza a segurança da ligação; b) para a inclinação obtida no item anterior, o coeficiente de segurança da ligação. [Resposta: a) \boldsymbol{\theta}=\mathbf{2 7}, \mathbf{6 2}^{\boldsymbol{\circ}}; b) \boldsymbol{\gamma}=\mathbf{4}, \mathbf{2 1} ].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a inclinação \theta da junta colada que otimiza a segurança da ligação;
  • (b) para essa \theta, o coeficiente de segurança \gamma da ligação.
Informações dadas (retirei os comprimentos da figura):
P=10\\ \text{kN},
tensões de ruptura da junta:
\sigma_{u}=17{,}2\\ \text{MPa}\quad\text{(tracção)},çã
\tau_{u}=9\\ \text{MPa}\quad\text{(cisalhamento)},
dimensões indicadas na base (peguei da imagem):
60\\ \text{mm}\quad\text{(projeção horizontal ao longo da junta)},çã
32\\ \text{mm}\quad\text{(largura perpendicular à projeção)}.àçã
A força aplicada é vertical (para cima) e a junta forma ângulo \theta com a horizontal (conforme figura).
A solução pedida é a inclinação que torna a ligação o mais segura possível e o coeficiente de segurança nessa inclinação.

Passo 2

Entendimento geométrico e área da junta (aulas rápidas sobre projeção):
  • A projeção horizontal da junta ao longo do bloco é 60\\ \text{mm} e a largura é 32\\ \text{mm}. A projeção da área é 60\cdot32=1920\\ \text{mm}^2.
  • A junta está inclinada com ângulo \theta; a sua extensão real ao longo da direção inclinada é maior que a projeção: se a projeção longitudinal vale 60\\ \text{mm}, o comprimento real da junta nessa direção é \dfrac{60}{\cos\theta} (porque projeção = comprimento real \times\cos\theta).
  • Portanto, a área real da superfície da junta é
A(\theta)=32\cdot\frac{60}{\cos\theta}=\frac{1920}{\cos\theta}\\ \text{mm}^2.
Explicação curta: a relação \text{projeção} = \text{comprimento real}\cdot\cos\thetaçã vem da definição trigonométrica da projeção de um segmento num eixo.

Passo 3

Componentes da força na junta e definição de tensão (mini-aula sobre decomposição de forças e tensão):
  • A força P é vertical. O ângulo entre a normal à junta e a força é \theta (quando \theta=0 a junta é horizontal e a força é normal à junta).
  • O componente da força normal à junta (que causa tração na cola) é P_n=P\cos\theta.
  • O componente de força tangencial à junta (cisalhamento) é P_t=P\sin\theta.
  • Tensão normal (tração) na junta:
\sigma(\theta)=\frac{P_n}{A(\theta)}=\frac{P\cos\theta}{A(\theta)}.
  • Tensão de cisalhamento na junta:
\tau(\theta)=\frac{P_t}{A(\theta)}=\frac{P\sin\theta}{A(\theta)}.
Substituindo A(\theta)=\dfrac{1920}{\cos\theta} obtemos fórmulas práticas:
\sigma(\theta)=\frac{P\cos\theta}{1920/\cos\theta}=\frac{P\cos^2\theta}{1920},
\tau(\theta)=\frac{P\sin\theta}{1920/\cos\theta}=\frac{P\sin\theta\cos\theta}{1920}.
Observação: aqui usamos unidades P em N e A em \text{mm}^2, logo as tensões saem em \text{N/mm}^2=\text{MPa}.

Passo 4

Definição do coeficiente de segurança (mini-aula sobre gamma):
  • Coeficiente de segurança relativo à tração:
\gamma_{\sigma}(\theta)=\frac{\sigma_{u}}{\sigma(\theta)}.
  • Coeficiente de segurança relativo ao cisalhamento:
\gamma_{\tau}(\theta)=\frac{\tau_{u}}{\tau(\theta)}.
  • O coeficiente de segurança real da junta para um \theta é o menor dos dois (porque a falha ocorre onde o esforço relativo ao limite é maior):
\gamma(\theta)=\min\{\gamma_{\sigma}(\theta),\;\gamma_{\tau}(\theta)\}.
Para maximizar a segurança global (isto é, maximizar \gamma(\theta)) devemos escolher \theta de modo que essas duas razões fiquem iguais (caso contrário uma domina e poderíamos variar \theta para melhorar a menor das duas). Assim usamos a condição de equilíbrio:
\gamma_{\sigma}(\theta)=\gamma_{\tau}(\theta).

Passo 5

Igualando os factores e simplificando (resolvendo para \theta):
Igualando
\frac{\sigma_{u}}{\sigma(\theta)}=\frac{\tau_{u}}{\tau(\theta)}
e substituindo \sigma(\theta) e \tau(\theta):
\frac{\sigma_{u}}{\dfrac{P\cos^2\theta}{1920}}=\frac{\tau_{u}}{\dfrac{P\sin\theta\cos\theta}{1920}}.
Os fatores P e 1920 cancelam; restando
\frac{\sigma_{u}}{\cos^2\theta}=\frac{\tau_{u}}{\sin\theta\cos\theta}.
Multiplicando e simplificando dá
\frac{\sigma_{u}}{\tau_{u}}=\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta.
Logo a condição ótima é
\cot\theta=\frac{\sigma_{u}}{\tau_{u}}.
Substituindo os valores numéricos:
\cot\theta=\frac{17{,}2}{9}=1{,}911111\ldots
Portanto
\tan\theta=\frac{1}{1{,}911111\ldots}=0{,}523850\ldots
e
\theta=\arctan(0{,}523850\ldots)=27{,}62^\circ.

Passo 6

Cálculo do coeficiente de segurança \gamma para \theta=27{,}62^\circ:
  • Primeiro calculemos as funções trigonométricas (usando a \tan encontrada):
\tan\theta=0{,}523850\quad\Rightarrow\quad\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=0{,}88586\ldots,
\sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta=0{,}523850\cdot0{,}88586=0{,}46384\ldots
  • Agora a tensão normal na junta:
\sigma(\theta)=\frac{P\cos^2\theta}{1920}=\frac{10000\cdot(0{,}88586)^2}{1920}.
Calculemos numericamente:
(0{,}88586)^2=0{,}78472\ldots
\sigma(\theta)=\frac{10000\cdot0{,}78472}{1920}=\frac{7847{,}2}{1920}=4{,}1875\ldots\\ \text{MPa}.
(aproximação consistente; usamos aritmética de mão com 4 casas decimais internas).
  • Tensão de cisalhamento:
\tau(\theta)=\frac{P\sin\theta\cos\theta}{1920}=\frac{10000\cdot0{,}46384\cdot0{,}88586}{1920}.
0{,}46384\cdot0{,}88586=0{,}41000\ldots
\tau(\theta)=\frac{10000\cdot0{,}41000}{1920}=\frac{4100}{1920}=2{,}1354\ldots\\ \text{MPa}.
  • Coeficientes de segurança individuais:
\gamma_{\sigma}=\frac{\sigma_{u}}{\sigma(\theta)}=\frac{17{,}2}{4{,}0879\ldots}\approx4{,}21,
\gamma_{\tau}=\frac{\tau_{u}}{\tau(\theta)}=\frac{9}{2{,}1354\ldots}\approx4{,}21.
(Como esperado, os dois coincidem pela condição de otimização.)
  • Portanto o coeficiente de segurança global é
\gamma(\theta)=4{,}21\\ \text{(aprox.)}.

Resposta

\theta=27{,}62^\circ
\gamma=4{,}21

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