Duas partes de um elemento estrutural
estão coladas ao longo de um plano formando um ângulo
com a horizontal. Considerando que as tensões de ruptura à tração e ao cisalhamento da junta colada são, respectivamente, 17,2 MPa e 9 MPa , pede-se: a) a inclinação
que otimiza a segurança da ligação; b) para a inclinação obtida no item anterior, o coeficiente de segurança da ligação. [Resposta: a)
; b)
].
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a inclinação
da junta colada que otimiza a segurança da ligação; - (b) para essa
, o coeficiente de segurança da ligação.
Informações dadas (retirei os comprimentos da figura):
tensões de ruptura da junta:
dimensões indicadas na base (peguei da imagem):
A força aplicada é vertical (para cima) e a junta forma ângulo
com a horizontal (conforme figura).
A solução pedida é a inclinação que torna a ligação o mais segura possível e o coeficiente de segurança nessa inclinação.
A solução pedida é a inclinação que torna a ligação o mais segura possível e o coeficiente de segurança nessa inclinação.
Passo 2
Entendimento geométrico e área da junta (aulas rápidas sobre projeção):
- A projeção horizontal da junta ao longo do bloco é
e a largura é . A projeção da área é . - A junta está inclinada com ângulo
; a sua extensão real ao longo da direção inclinada é maior que a projeção: se a projeção longitudinal vale , o comprimento real da junta nessa direção é (porque projeção = comprimento real ). - Portanto, a área real da superfície da junta é
Explicação curta: a relação
vem da definição trigonométrica da projeção de um segmento num eixo.
Passo 3
Componentes da força na junta e definição de tensão (mini-aula sobre decomposição de forças e tensão):
- A força
é vertical. O ângulo entre a normal à junta e a força é (quando a junta é horizontal e a força é normal à junta). - O componente da força normal à junta (que causa tração na cola) é
. - O componente de força tangencial à junta (cisalhamento) é
. - Tensão normal (tração) na junta:
- Tensão de cisalhamento na junta:
Substituindo
obtemos fórmulas práticas:
Observação: aqui usamos unidades
em N e
em
, logo as tensões saem em
.
Passo 4
Definição do coeficiente de segurança (mini-aula sobre gamma):
- Coeficiente de segurança relativo à tração:
- Coeficiente de segurança relativo ao cisalhamento:
- O coeficiente de segurança real da junta para um
é o menor dos dois (porque a falha ocorre onde o esforço relativo ao limite é maior):
Para maximizar a segurança global (isto é, maximizar
) devemos escolher
de modo que essas duas razões fiquem iguais (caso contrário uma domina e poderíamos variar
para melhorar a menor das duas). Assim usamos a condição de equilíbrio:
Passo 5
Igualando os factores e simplificando (resolvendo para
):
Igualando
Igualando
e substituindo
e
:
Os fatores
e
cancelam; restando
Multiplicando e simplificando dá
Logo a condição ótima é
Substituindo os valores numéricos:
Portanto
e
Passo 6
Cálculo do coeficiente de segurança
para
:
- Primeiro calculemos as funções trigonométricas (usando a
encontrada):
- Agora a tensão normal na junta:
Calculemos numericamente:
(aproximação consistente; usamos aritmética de mão com 4 casas decimais internas).
- Tensão de cisalhamento:
- Coeficientes de segurança individuais:
(Como esperado, os dois coincidem pela condição de otimização.)
- Portanto o coeficiente de segurança global é