Q5: Considere a base \beta=\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 6 \\\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 6 \\\\ 9\end{array}\right]\right\} do \mathbb{R}^{3}. Sabendo que [\vec{v}]_{\beta}=(-4,4,-2) (coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta ), a 2^{\text {a }} entrada de \vec{v} é igual a:
(A) 20
(B) 19
(C) 17
(D) 18
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado fornece a base \beta de \mathbb{R}^{3} formada pelos vetores
b_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},\quad b_{2} = \begin{pmatrix}-2\\\ 6\\\ 6\end{pmatrix},\quad b_{3} = \begin{pmatrix}-2\\\ 6\\\ 9\end{pmatrix},
e diz que as coordenadas de \vec v nessa base são (-4,4,-2). Precisamos encontrar a segunda componente de \vec v no sistema canônico.

Passo 2

Como [\vec v]_{\beta}=(-4,4,-2), temos
\vec v \;=\;-4\,b_{1}\;+\;4\,b_{2}\;-\;2\,b_{3}.

Passo 3

Para obter a segunda entrada de \vec v, combinamos as segundas componentes de b_{1},b_{2},b_{3}:
v_{2} = -4\cdot(-2)\;+\;4\cdot 6\;+\;(-2)\cdot 6 = 8 \;+\;24 \;-\;12 = 20.

Resposta

20

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