Q14: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rr} 5 & 2 \\\\ -4 & -1 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 2a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}5 & 2\\\ -4 & -1\end{pmatrix}
e afirma que existe matriz invertível P tal que
M = P\begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & b\end{pmatrix}P^{-1}
com a<b. Isso significa que a e b são os autovalores de M e as colunas de P são vetores próprios associados. A segunda coluna de P é, portanto, um vetor próprio de M para o autovalor maior, que chamamos de b.

Passo 2

Calcular os autovalores de M usando o traço e o determinante. O traço é
\mathrm{tr}(M)=5+(-1)=4,
o determinante é
\det(M)=5\cdot(-1)-2\cdot(-4)=-5+8=3.
A equação característica é
\lambda^2 - (\mathrm{tr}\,M)\,\lambda + \det(M)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0,
cuja solução é \lambda=1 e \lambda=3. Como a<b, temos a=1 e b=3.

Passo 3

Encontrar o vetor próprio associado a \lambda=b=3. Resolvemos
(M-3I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}5-3 & 2\\\ -4 & -1-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2\\\ -4 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem 2x+2y=0, ou seja x=-y. Logo um vetor próprio é
v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =y\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix},
isto é, todo vetor múltiplo de \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

(C) \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} é a direção da 2ª coluna de P.

Exercícios relacionados