\left[\begin{array}{rr} 5 & 2 \\\\ -4 & -1 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 2a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}5 & 2\\\ -4 & -1\end{pmatrix}
e afirma que existe matriz invertível P tal que
M = P\begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & b\end{pmatrix}P^{-1}
com a<b. Isso significa que a e b são os autovalores de M e as colunas de P são vetores próprios associados. A segunda coluna de P é, portanto, um vetor próprio de M para o autovalor maior, que chamamos de b.
Passo 2
Calcular os autovalores de M usando o traço e o determinante. O traço é