Considere a base ordenada 
  de 
 , onde 
  e 
 . Encontre as coordenadas do vetor 
  com relação à base ordenada 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A ideia aqui é achar as coordenadas do vetor 
  em relação à base ordenada 
 , onde:
O que precisamos para isso é entender como expressar 
  como uma combinação linear dos vetores da base 
 . Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter as coordenadas de 
  em relação à base 
 . Queremos encontrar escalares 
  tais que:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações igualando cada componente de 
  com as componentes resultantes da combinação linear:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, já sabemos que:
Passo 6
Substituindo 
 -alpha + b = c implies -alpha = c - b implies alpha = b - c    na terceira equação:
Passo 7
Agora, substituímos 
 (b - c) + b + gamma = a implies 2b - c + gamma = a    e 
 gamma = a - 2b + c    na primeira equação:
Resolvendo para 
 :
Passo 8
Então, resumindo as soluções que encontramos:
Resposta
As coordenadas do vetor 
  alpha  beta  gamma  =  b - c  b  a - 2b + c     em relação à base ordenada 
  são:
[
]