Considere as bases \mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} e \mathcal{C}=\left\{\mathbf{g}_{1}, \mathbf{g}_{2}, \mathbf{g}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas pelas seguintes equações:
(a) Determine as matrizes de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C}\left(P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}\right) e de \mathcal{C} para \mathcal{B}\left(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}\right).
(b) Se um vetor \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3} tem coordenadas ( 1,2,3 ) em relação à base \mathcal{B}, quais são as coordenadas de \mathbf{u} em relação à base \mathcal{C} ?
Passo 1
O enunciado pede a transformação de coordenadas entre duas bases de \mathbb{R}^3:
– \mathcal{B}=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\} (base canônica)
– \mathcal{C}=\{\mathbf g_1,\mathbf g_2,\mathbf g_3\} com
A matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}, P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}, que leva coordenadas em \mathcal{C} às coordenadas em \mathcal{B}.
A matriz inversa P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C})^{-1}.
Usar P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} para achar as coordenadas em \mathcal{C} de um vetor que em \mathcal{B} vale (1,2,3).
Passo 2
Para montar P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}, colocamos em cada coluna j as coordenadas de \mathbf g_j na base \mathcal{B}. Assim: