Para cada um dos seguintes pares de bases ordenadas \mathcal{B} e \mathcal{C} do \mathbb{R}^{2}, encontre a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas em \mathcal{C} para as coordenadas em \mathcal{B}.
\mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} e \mathcal{C}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right\},

Passo 1

O enunciado nos dá as bases \mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} (a base canônica de \mathbb{R}^2) e \mathcal{C}=\{(a_1,a_2),(b_1,b_2)\}, e pede a matriz de mudança de base que leva coordenadas em \mathcal{C} para coordenadas em \mathcal{B}. Vamos usar a definição: a matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B} tem colunas formadas pelas coordenadas, em \mathcal{B}, dos vetores de \mathcal{C}.

Passo 2

Como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas de um vetor (x,y) em relação a \mathcal{B} são simplesmente os próprios componentes x e y.
  • Para o vetor (a_1,a_2)\in\mathcal{C}, as coordenadas em \mathcal{B} são
\begin{pmatrix}a_1\a_2\end{pmatrix}.
  • Para o vetor (b_1,b_2)\in\mathcal{C}, as coordenadas em \mathcal{B} são
\begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix}.

Passo 3

Montamos a matriz de mudança de base P_{\mathcal{C}\to\mathcal{B}} colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de \mathcal{C}. Assim,
P_{\mathcal{C}\to\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1\\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal{C}\to\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1\\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}.

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