Considere as bases ordenadas de 
  e 
  :
d) Mostre que 
  para o operador no 
  definido por 
 .
d) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas bases ordenadas de 
 :
- Base 
- que é a base padrão.  - Base 
.  
O exercício nos pede para mostrar que a matriz de 
  na base 
  é igual a 
 , onde 
  é a matriz de mudança de base de 
  para 
 . O operador 
  é definido por 
 .
Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar a matriz de mudança de base 
.  - Encontrar a matriz de 
na base , que é a base padrão.  - Calcular 
.  - Multiplicar essas matrizes conforme a fórmula 
.  
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base 
 . Essa matriz transforma coordenadas da base 
  para a base 
 .
As colunas de 
  são os vetores da base 
  escritos na base 
 . Como 
  é a base padrão, os vetores de 
  já estão nas coordenadas 
 :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz de 
  na base 
 , que é 
 .
O operador 
  é dado por 
 .
Para encontrar a matriz, aplicamos 
  nos vetores da base 
 :
Assim, 
  é a matriz cujas colunas são essas imagens:
Passo 4
Agora, precisamos calcular 
 , a inversa da matriz 
 .
A matriz 
  é:
Para encontrar 
 , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 
 :
Onde 
 , 
 , 
 , 
 .
Calculando o determinante:
Então,
Passo 5
Finalmente, vamos calcular 
 :
Primeiro, multiplicamos 
  por 
 :
Agora, multiplicamos 
  por esse resultado:
Resposta
Portanto, mostramos que: