Mostre que 
  é um subanel de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que 
  é um subanel de 
 . Isso está relacionado com álgebra, especificamente com anéis e subanéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar se 
  satisfaz as propriedades necessárias para ser um subanel de 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é 
 . Esse conjunto consiste em todos os números da forma 
 , onde 
  e 
  são inteiros (
 ). Por exemplo, números como 
  ou 
  fazem parte desse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel maior é um conjunto que, por si só, também forma um anel. Isso significa que ele precisa estar fechado sob as operações de adição e multiplicação, e conter o elemento neutro (no caso, 0).
Passo 4
Vamos verificar se 
  satisfaz essas condições:
- 
Fechado sob adição: Se pegarmos dois elementos de
, digamos e , a soma deles será . Como e são inteiros, a soma também está em .  - 
Fechado sob multiplicação: Multiplicando
por , temos: Sabendo que, isso fica: Novamente,e são inteiros, então o produto está em .  - 
Contém o elemento neutro: O número
pode ser escrito como , que está em .  
Passo 5
Além disso, 
  está contido em 
  porque todos os seus elementos são números reais (já que 
  é real e a combinação linear com inteiros também é real).
Passo 6
Como 
  satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel de 
 , concluímos que realmente é um subanel.
Resposta
Portanto, 
  é de fato um subanel de 
 .