Considere um campo elétrico definido em coordenadas esféricas por
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{A \hat{r}+B \sin \theta \cos \varphi \hat{\varphi}}{r}
em que A e B são constantes. Mostre que a densidade de carga associada a este campo é dada por
\rho(r, \varphi)=\frac{\varepsilon_{0}(A-B \sin \varphi)}{r^{2}} .

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas esféricas
\mathbf{E}(r,\theta,\varphi)=\frac{A\,\hat r + B\,\sin\theta\cos\varphi\,\hat\varphi}{r}
e pede a densidade de carga \rho(r,\varphi). Vamos usar a equação de Maxwell–Gauss
\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0}
e o operador divergente em coordenadas esféricas.

Passo 2

Identificamos os componentes de \mathbf{E}:
E_{r}=\frac{A}{r}, \quad E_{\theta}=0, \quad E_{\varphi}=\frac{B\,\sin\theta\cos\varphi}{r}.
E lembramos que
\rho=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}.

Passo 3

O divergente em esféricas é
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}E_{r}\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,E_{\theta}\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Como E_{\theta}=0, o segundo termo é zero.

Passo 4

Calculamos o termo radial:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}E_{r}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^{2}\frac{A}{r}\Bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(A\,r) =\frac{A}{r^{2}}.

Passo 5

Agora o termo em \varphi:
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_{\varphi}}{\partial\varphi} =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} \Bigl(\frac{B\,\sin\theta\cos\varphi}{r}\Bigr) =\frac{B\,\sin\theta\,(-\sin\varphi)}{r^{2}\sin\theta} =-\frac{B\sin\varphi}{r^{2}}.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{A}{r^{2}}-\frac{B\sin\varphi}{r^{2}} =\frac{A - B\sin\varphi}{r^{2}}.

Passo 6

Aplicando \rho=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}, obtemos
\rho(r,\varphi) =\frac{\varepsilon_{0}\,\bigl(A - B\sin\varphi\bigr)}{r^{2}}.

Resposta

\rho(r,\varphi)=\frac{\varepsilon_{0}\bigl(A - B\sin\varphi\bigr)}{r^{2}}.

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