Na aula, foi demonstrado que o campo elétrico no centro de uma casca hemisférica de raio
, carregada uniformemente com densidade superficial
, não é nulo e vale
apontando ao longo do eixo de simetria da casca, em direção à sua abertura.
Agora, considere um hemisfério maciço de raio
, carregado uniformemente com densidade volumétrica
. O hemisfério ocupa a região
, com centro na origem.
a) Escreva a expressão do elemento de volume em coordenadas esféricas e da carga elementar
.
b) Determine a contribuição elementar do campo elétrico no centro devido a
, separando a componente ao longo do eixo
.
c) Realize as integrais necessárias para encontrar o campo elétrico total no centro.
d) Compare o resultado obtido com o caso da casca hemisférica e discuta fisicamente a semelhança entre as duas expressões.
a) Escreva a expressão do elemento de volume em coordenadas esféricas e da carga elementar
b) Determine a contribuição elementar do campo elétrico no centro devido a
c) Realize as integrais necessárias para encontrar o campo elétrico total no centro.
d) Compare o resultado obtido com o caso da casca hemisférica e discuta fisicamente a semelhança entre as duas expressões.
Passo 1
O enunciado considera um hemisfério sólido de raio
, carregado uniformemente com densidade volumétrica
, ocupando a região
e centrado na origem. Queremos achar o campo elétrico no centro em quatro etapas: (a) escrever o elemento de volume e
; (b) expressar a contribuição elementar do campo e separar a componente
; (c) fazer as integrais; (d) comparar com o caso da casca hemisférica.
Passo 2
Usando coordenadas esféricas
com
medido a partir do eixo
, o elemento de volume é
e portanto a carga elementar vale
Passo 3
O módulo do campo devido a
no centro é
Como o vetor
devido a um ponto em
aponta radialmente para dentro, sua componente ao longo de
tem fator
, logo
Passo 4
Integramos
sobre todo o hemisfério:
Fazendo cada integral:
Assim
O vetor campo no centro é, portanto,
apontando para dentro do hemisfério (direção positiva de
).
Passo 5
No caso da casca hemisférica de mesma abertura e raio tinha-se
onde
era a densidade superficial. Se definirmos uma densidade superficial efetiva
, notamos que
Físicamente, o sólido concentra carga mais perto da abertura, reforçando o campo no centro em comparação à casca fina.