Na aula, foi demonstrado que o campo elétrico no centro de uma casca hemisférica de raio R, carregada uniformemente com densidade superficial \sigma, não é nulo e vale
E=\frac{\sigma}{4 \varepsilon_{0}},
apontando ao longo do eixo de simetria da casca, em direção à sua abertura.
Agora, considere um hemisfério maciço de raio R, carregado uniformemente com densidade volumétrica \rho. O hemisfério ocupa a região z>0, com centro na origem.
a) Escreva a expressão do elemento de volume em coordenadas esféricas e da carga elementar d q.
b) Determine a contribuição elementar do campo elétrico no centro devido a d q, separando a componente ao longo do eixo z.
c) Realize as integrais necessárias para encontrar o campo elétrico total no centro.
d) Compare o resultado obtido com o caso da casca hemisférica e discuta fisicamente a semelhança entre as duas expressões.

Passo 1

O enunciado considera um hemisfério sólido de raio R, carregado uniformemente com densidade volumétrica \rho, ocupando a região z>0 e centrado na origem. Queremos achar o campo elétrico no centro em quatro etapas: (a) escrever o elemento de volume e dq; (b) expressar a contribuição elementar do campo e separar a componente z; (c) fazer as integrais; (d) comparar com o caso da casca hemisférica.

Passo 2

Usando coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com \theta medido a partir do eixo z, o elemento de volume é
dv = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
e portanto a carga elementar vale
dq = \rho\,dv = \rho\,r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

O módulo do campo devido a dq no centro é
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{dq}{r^{2}} = \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi}{r^{2}} = \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Como o vetor \mathbf{E} devido a um ponto em (r,\theta) aponta radialmente para dentro, sua componente ao longo de z tem fator \cos\theta, logo
dE_{z} = dE\;\cos\theta = \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\sin\theta\cos\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Integramos dE_{z} sobre todo o hemisfério:
E_{z} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{R} \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\sin\theta\cos\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Fazendo cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{R}dr = R.
Assim
E_{z} = \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\;2\pi\;\frac12\;R = \frac{\rho\,R}{4\varepsilon_{0}}.
O vetor campo no centro é, portanto,
\mathbf{E} = \frac{\rho\,R}{4\varepsilon_{0}}\,\hat{z},
apontando para dentro do hemisfério (direção positiva de z).

Passo 5

No caso da casca hemisférica de mesma abertura e raio tinha-se
E_{\rm casca} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_{0}},
onde \sigma era a densidade superficial. Se definirmos uma densidade superficial efetiva \sigma_{\rm eff}=Q_{\rm sólido}/(2\pi R^{2})=(\rho\cdot\frac{2\pi R^{3}}{3})/(2\pi R^{2})=\rho R/3ó, notamos que
E_{\rm sólido} = \frac{\rho R}{4\varepsilon_{0}} = 3\,\frac{\sigma_{\rm eff}}{4\varepsilon_{0}} =3\,E_{\rm casca\,(com\,}\sigma=\sigma_{\rm eff}\!).ó
Físicamente, o sólido concentra carga mais perto da abertura, reforçando o campo no centro em comparação à casca fina.

Resposta

\mathbf{E} = \frac{\rho\,R}{4\varepsilon_{0}}\,\hat{z}.

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