Considere o campo elétrico total no interior de um dielétrico, \vec{E}=\vec{E}_{\text {fora }}+\vec{E}_{\text {dentro }}. Sabendo que a carga volumétrica polarizada é \rho_{p}=-\nabla \cdot \vec{P}, mostre que a Lei de Gauss será representada por \nabla \cdot \vec{D}=\rho_{l}, com \vec{D} \equiv \epsilon_{0} \vec{E}+\vec{P}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num dielétrico, a Lei de Gauss fica
\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{l}
onde definimos
\vec{D}\equiv\epsilon_{0}\,\vec{E}+\vec{P}
Sabemos também que a carga volumétrica polarizada é \rho_{p}=-\nabla\cdot\vec{P}.

Passo 2

Começamos da forma geral da Lei de Gauss para o campo total \vec{E} no dielétrico, que relaciona o divergente de \vec{E} à densidade total de carga (livre mais polarizada):
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho_{l}+\rho_{p}}{\epsilon_{0}}
onde \rho_{l} é a densidade de carga livre e \rho_{p} é a densidade de carga de polarização.

Passo 3

Substituímos a expressão dada para a carga de polarização, \rho_{p}=-\nabla\cdot\vec{P}, na equação acima:
\nabla\cdot\vec{E} =\frac{\rho_{l}+(-\nabla\cdot\vec{P})}{\epsilon_{0}} =\frac{\rho_{l}}{\epsilon_{0}}-\frac{\nabla\cdot\vec{P}}{\epsilon_{0}}

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por \epsilon_{0}$ para eliminar o denominador:
\epsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E} =\rho_{l}-\nabla\cdot\vec{P}
e então reagruparamos os termos divergentes:
\epsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E}+\nabla\cdot\vec{P} =\rho_{l}

Passo 5

Reconhecemos que a soma dentro do divergente é exatamente \nabla\cdot(\epsilon_{0}\vec{E}+\vec{P}). Ou seja, definindo
\vec{D}\equiv\epsilon_{0}\,\vec{E}+\vec{P},
temos imediatamente
\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{l}.

Resposta

\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{l}, \quad \vec{D}=\epsilon_{0}\vec{E}+\vec{P}.

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