Considere o campo elétrico \vec{E}=c\left(x^{2} \hat{\mathbf{x}}+y \hat{\mathbf{y}}+z^{3} \hat{\mathbf{z}}\right), em coordenadas retangulares e onde c é uma constante. Esse campo elétrico está no vácuo e é definido num volume finito do espaço. A densidade volumétrica de carga \rho que gera esse campo elétrico é
Dado: a permissividade do vácuo é \varepsilon_{0}.
a) \varepsilon_{0} c\left(3 z^{2}+1\right)
b) \varepsilon_{0} c 2 x
c) \varepsilon_{0} c\left(2 x+3 z^{2}+1\right)
d) \varepsilon_{0} c(2 x+1)

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E} = c\bigl(x^2\,\hat{\mathbf{x}} + y\,\hat{\mathbf{y}} + z^3\,\hat{\mathbf{z}}\bigr)
num vácuo e pede a densidade volumétrica de carga \rho que o gera, sabendo que a permissividade do vácuo é \varepsilon_{0}. Vamos usar a forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Reescrevendo a relação para \rho, temos
\rho = \varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E}.

Passo 3

Calculamos o divergente de \vec{E}:
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(c x^2\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(c y\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(c z^3\bigr) = 2c x + c + 3c z^2 = c\bigl(2x + 1 + 3z^2\bigr).

Passo 4

Multiplicando por \varepsilon_{0}, obtemos
\rho = \varepsilon_{0}\,c\bigl(2x + 1 + 3z^2\bigr).

Resposta

c) \displaystyle \varepsilon_{0}\,c\bigl(2x + 3z^2 + 1\bigr)

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