Considere um campo de vetores X: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
X(x, y, z)=(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z))=A i+B j+C konde i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) são os vetores unitários canônicos (notação da física).
Defina, a derivada de X, o rotacional de X e o divergente de X.
\begin{gathered}D X(x, y, z)=D X=\left(\begin{array}{ccc}A_{x} & A_{y} & A_{z} \B_{x} & B_{y} & B_{z} \C_{x} & C_{y} & C_{z}\end{array}\right) \\\ \operatorname{rot}(\mathrm{X})=\operatorname{grad}(\mathrm{A}) \wedge \mathrm{i}+\operatorname{grad}(\mathrm{B}) \wedge \mathrm{j}+\operatorname{grad}(\mathrm{C}) \wedge \mathrm{k} \\\ \operatorname{div}(\mathrm{X})=\operatorname{grad}(\mathrm{A}) \cdot \mathrm{i}+\operatorname{grad}(\mathrm{B}) \cdot \mathrm{j}+\operatorname{grad}(\mathrm{C}) \cdot \mathrm{k}\end{gathered}
Obs 1: O símbolo \wedge denota o produto vetorial de dois vetores (u \wedge v) e o símbolo ⋅ denota o produto escalar (produto interno) de dois vetores ( u \cdot v ). É também usual usar o símbolo × para representar o produto vetorial de dois vetores ( u \times v )
Obs 2: Dado f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} temos que \operatorname{grad}(\mathrm{f})=\left(\mathrm{f}_{\mathrm{x}}, \mathrm{f}_{\mathrm{y}}, \mathrm{f}_{\mathrm{z}}\right).
Obs 3: f X=f(A, B, C)=(f A, f B, f C)
Mostre que \operatorname{div}(\mathrm{X})=\mathrm{A}_{\mathrm{x}}+\mathrm{B}_{\mathrm{y}}+\mathrm{C}_{\mathrm{z}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado:
  • Foi definido o campo vetorial X:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por X(x,y,z)=(A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)).
  • Foi dada a expressão
\operatorname{div}(X)=\operatorname{grad}(A)\cdot i+\operatorname{grad}(B)\cdot j+\operatorname{grad}\text{(C)}\cdot k.
  • O objetivo é mostrar que
\operatorname{div}(X)=A_x+B_y+C_z.
Aqui A_x significa \dfrac{\partial A}{\partial x}, e de modo análogo para B_y e C_z.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar e quais são os vetores unitários canônicos:
  • Para uma função escalar f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} vale
\operatorname{grad}(f)=\big(f_x,f_y,f_z\big).
  • Os vetores unitários canônicos são
i=(1,0,0),\qquad j=(0,1,0),\qquad k=(0,0,1).
Aplicando isso a A,B,C obtemos explicitamente:
\operatorname{grad}(A)=(A_x,A_y,A_z),\quad \operatorname{grad}(B)=(B_x,B_y,B_z),\quad \operatorname{grad}\text{(C)}=(C_x,C_y,C_z).

Passo 3

Agora vamos calcular cada produto escalar que aparece na definição dada. Lembre que o produto escalar (ou interno) entre dois vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é
(u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Usando isso:
  • Para \operatorname{grad}(A)\cdot i temos
\operatorname{grad}(A)\cdot i=(A_x,A_y,A_z)\cdot(1,0,0)=A_x\cdot1+A_y\cdot0+A_z\cdot0=A_x.
  • Para \operatorname{grad}(B)\cdot j temos
\operatorname{grad}(B)\cdot j=(B_x,B_y,B_z)\cdot(0,1,0)=B_x\cdot0+B_y\cdot1+B_z\cdot0=B_y.
  • Para \operatorname{grad}\text{(C)}\cdot k temos
\operatorname{grad}\text{(C)}\cdot k=(C_x,C_y,C_z)\cdot(0,0,1)=C_x\cdot0+C_y\cdot0+C_z\cdot1=C_z.

Passo 4

Somando as três parcelas, pela definição dada no enunciado,
\operatorname{div}(X)=\operatorname{grad}(A)\cdot i+\operatorname{grad}(B)\cdot j+\operatorname{grad}\text{(C)}\cdot k=A_x+B_y+C_z.
Comentário extra (útil para prova): essa mesma expressão aparece também como a traça da matriz derivada (jacobiana) de X. Se
D X=\begin{pmatrix}A_x & A_y & A_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z\\[4pt] C_x & C_y & C_z\end{pmatrix},
então \operatorname{div}(X)=\operatorname{tr}(D X)=A_x+B_y+C_z. Isso é uma forma compacta e muito usada em análise vetorial.]

Resposta

A_x+B_y+C_z

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