Considere um campo de vetores X: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
X(x, y, z)=(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z))=A i+B j+C konde i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) são os vetores unitários canônicos (notação da física).
Defina, a derivada de X, o rotacional de X e o divergente de X.
Obs 1: O símbolo \wedge denota o produto vetorial de dois vetores (u \wedge v) e o símbolo ⋅ denota o produto escalar (produto interno) de dois vetores ( u \cdot v ). É também usual usar o símbolo × para representar o produto vetorial de dois vetores ( u \times v )
Obs 2: Dado f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} temos que \operatorname{grad}(\mathrm{f})=\left(\mathrm{f}_{\mathrm{x}}, \mathrm{f}_{\mathrm{y}}, \mathrm{f}_{\mathrm{z}}\right).
Obs 3: f X=f(A, B, C)=(f A, f B, f C)
Mostre que \operatorname{div}(\mathrm{X})=\mathrm{A}_{\mathrm{x}}+\mathrm{B}_{\mathrm{y}}+\mathrm{C}_{\mathrm{z}}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado:
Foi definido o campo vetorial X:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por X(x,y,z)=(A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)).
Foi dada a expressão
\operatorname{div}(X)=\operatorname{grad}(A)\cdot i+\operatorname{grad}(B)\cdot j+\operatorname{grad}\text{(C)}\cdot k.
O objetivo é mostrar que
\operatorname{div}(X)=A_x+B_y+C_z.
Aqui A_x significa \dfrac{\partial A}{\partial x}, e de modo análogo para B_y e C_z.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar e quais são os vetores unitários canônicos:
Para uma função escalar f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} vale
Agora vamos calcular cada produto escalar que aparece na definição dada. Lembre que o produto escalar (ou interno) entre dois vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é