Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{y+3}{(3-y)^{\frac{2}{3}}} d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{y+3}{(3-y)^{\frac{2}{3}}}\,dy.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é \dfrac{y+3}{(3-y)^{2/3}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(y) tal que F'(y)=\dfrac{y+3}{(3-y)^{2/3}}.
  • Não há outras restrições ou constantes iniciais; incluir uma constante de integração C no final.

Passo 2

Escolher uma mudança de variável adequada. Uma boa ideia quando aparece uma expressão do tipo (3-y) é fazer a substituição
u = 3 - y.
Explicando por que: substituição (ou troca de variável) serve quando a integranda é uma composição e a derivada do interior aparece (ou aparece até multiplicada por um fator). Aqui o denominador depende de 3-y, então transformar em u simplifica as potências. Agora calculamos o diferencial:
du = -\,dy \qquad\Rightarrow\qquad dy = -\,du.
Também precisamos expressar y em função de u:
y = 3 - u.

Passo 3

Substituir tudo na integral: substituir y=3-u, dy=-du e (3-y)=u. Então
\int \frac{y+3}{(3-y)^{\frac{2}{3}}}\,dy = \int \frac{(3-u)+3}{u^{\frac{2}{3}}}\,(-du).
Simplificando o numerador (3-u)+3 = 6 - u, obtemos
\int \frac{y+3}{(3-y)^{\frac{2}{3}}}\,dy = -\int \frac{6-u}{u^{\frac{2}{3}}}\,du.

Passo 4

Distribuir o sinal negativo e dividir os termos por u^{2/3}. É útil reescrever cada termo como potência de u:
-\frac{6-u}{u^{2/3}} = -\left(6u^{-\frac{2}{3}} - u^{1-\frac{2}{3}}\right) = -6u^{-\frac{2}{3}} + u^{\frac{1}{3}}.
Portanto a integral em u fica
\int \frac{y+3}{(3-y)^{\frac{2}{3}}}\,dy = \int \left(u^{\frac{1}{3}} - 6u^{-\frac{2}{3}}\right)\,du.

Passo 5

Aplicar a regra da potência para integrais. Lembrete da fórmula (aqui em u):
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,\qquad n\neq -1.
Vamos aplicar termo a termo:
  • Para u^{\frac{1}{3}}: n=\tfrac{1}{3}, então
\int u^{\frac{1}{3}}\,du = \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,u^{\frac{4}{3}}.
  • Para -6u^{-\frac{2}{3}}: fatoramos -6 e usamos n=-\tfrac{2}{3}, logo
\int -6u^{-\frac{2}{3}}\,du = -6\cdot\frac{u^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = -6\cdot\frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = -6\cdot 3\,u^{\frac{1}{3}} = -18\,u^{\frac{1}{3}}.

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos obtemos a primitiva em u:
\int \left(u^{\frac{1}{3}} - 6u^{-\frac{2}{3}}\right)\,du = \frac{3}{4}\,u^{\frac{4}{3}} - 18\,u^{\frac{1}{3}} + C.
Agora voltamos para a variável original usando u=3-y. Substituindo:
\frac{3}{4}\,(3-y)^{\frac{4}{3}} - 18\,(3-y)^{\frac{1}{3}} + C.
Observação: pode-se também fatorar (3-y)^{1/3} se quiser uma forma alternativa, mas a forma acima já é uma primitiva válida e simples.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}\,(3-y)^{\frac{4}{3}}-18\,(3-y)^{\frac{1}{3}}+C

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