Encontre as integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Não há outras restrições ou constantes iniciais; incluir uma constante de integração
no final.
Passo 2
Escolher uma mudança de variável adequada. Uma boa ideia quando aparece uma expressão do tipo
é fazer a substituição
Explicando por que: substituição (ou troca de variável) serve quando a integranda é uma composição e a derivada do interior aparece (ou aparece até multiplicada por um fator). Aqui o denominador depende de
, então transformar em
simplifica as potências. Agora calculamos o diferencial:
Também precisamos expressar
em função de
:
Passo 3
Substituir tudo na integral: substituir
,
e
. Então
Simplificando o numerador
, obtemos
Passo 4
Distribuir o sinal negativo e dividir os termos por
. É útil reescrever cada termo como potência de
:
Portanto a integral em
fica
Passo 5
Aplicar a regra da potência para integrais. Lembrete da fórmula (aqui em
):
Vamos aplicar termo a termo:
- Para
: , então
- Para
: fatoramos e usamos , logo
Passo 6
Somando os resultados dos dois termos obtemos a primitiva em
:
Agora voltamos para a variável original usando
. Substituindo:
Observação: pode-se também fatorar
se quiser uma forma alternativa, mas a forma acima já é uma primitiva válida e simples.