Considere o campo vetorial 
 . F é conservativo? Justifique. Caso seja, determine uma função potencial para o campo 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo vetorial 
  e pergunta se ele é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para esse campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste do rotacional para verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo 
  é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional (ou “curl”) for igual a zero em todo o espaço considerado. Então, vamos calcular o rotacional de 
 .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de 
 , que é dado por:
Onde 
 . No nosso caso, temos:
Calculando cada componente:
- Primeira componente:
 
- Segunda componente:
 
- Terceira componente:
 
Então, o rotacional de 
  é:
Passo 4
Agora, para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Ou seja:
Vamos resolver o sistema:
- De 
, temos .  - Substituindo na segunda equação: 
, o que implica .  - Com 
, então .  
Isso significa que o rotacional é zero somente no ponto 
 , mas não é zero em geral para todos os pontos do espaço. Portanto, o campo 
  não é conservativo.
Passo 5
Como o rotacional de 
  não é zero em geral, concluímos que o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial para 
 .
Resposta
O campo vetorial 
  não é conservativo, já que seu rotacional não é nulo em todo o espaço.