Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o campo vetorial dado é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e, se der tudo certo, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial 
  é conservativo. Para isso, precisamos calcular o rotacional de 
 , que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos o rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo vetorial é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial 
  tal que 
 . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função que pode depender de 
  e 
 .
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
  e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Integrando em relação a 
 :
Agora, substituímos 
  na função 
 :
Por último, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos à terceira equação:
Então:
Integrando em relação a 
 :
Onde 
  é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é