1. Considere o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathbf{i}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathbf{j}
(a) Verifique que se (x, y) \neq(0,0), \operatorname{rot}(\mathbf{F})(x, y)=0.
(b) Calcule \oint_{C_{a}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} d l, onde C_{a} é o círculo de raio a centrado na origem, orientado no sentido anti-horário.
(c) Calcule \operatorname{rot}(\mathbf{F})(0,0).
(d) O campo vetorial \mathbf{F} é conservativo?

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathbf{i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathbf{j}
para (x,y)\neq(0,0).
(a) Pede o rotacional \operatorname{rot}\mathbf{F} em pontos fora da origem.
(b) Pede a integral de linha \oint_{C_a}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl ao longo do círculo de raio a.
(c) Pede \operatorname{rot}\mathbf{F}(0,0).
(d) Pergunta se \mathbf{F} é conservativo.
Para resolver vamos usar definição de rotacional via derivadas parciais, parametrização de curva para a integral de linha e definição de campo conservativo (existência de potencial).

Passo 2

Calcular
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Bigr).
Usamos \sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{1/2}.
1.
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{(x^2+y^2)^{1/2}}\Bigr) =y\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot2x =-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{(x^2+y^2)^{1/2}}\Bigr) =x\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot2y =-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Subtraindo, dá zero. Logo, para (x,y)\neq(0,0)
\operatorname{rot}\mathbf{F}(x,y)=0.

Passo 3

Parametrizamos o círculo C_a por
x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então \mathbf{F}(x,y)=(\cos t,\sin t) e o vetor tangente é \bigl(-a\sin t,a\cos t\bigr)\,dt.
O produto interno é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =(\cos t)(-a\sin t)\,dt+(\sin t)(a\cos t)\,dt =0\cdot dt.
Assim
\oint_{C_a}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl =\int_{0}^{2\pi}0\,dt =0.

Passo 4

No ponto (0,0) o campo não está definido (os componentes envolvem \sqrt{x^2+y^2} no denominador), então as derivadas parciais sequer existem ali. Portanto
\operatorname{rot}\mathbf{F}(0,0)\text{ não existe}.ã

Passo 5

Um campo é conservativo se existe \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Note que
\varphi(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}
satisfaz
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Logo \mathbf{F}=\nabla\varphi em todo o domínio (x,y)\neq(0,0), ou seja, \mathbf{F} é conservativo.

Resposta

(a) \operatorname{rot}\mathbf{F}(x,y)=0 para (x,y)\neq(0,0).
(b) \displaystyle\oint_{C_a}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl=0.
(c) \operatorname{rot}\mathbf{F}(0,0) não existe.
(d) Sim, \mathbf{F} é conservativo (pois \mathbf{F}=\nabla\sqrt{x^2+y^2}).

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