- Considere o campo vetorial
(a) Verifique que se
.
(b) Calcule
, onde
é o círculo de raio a centrado na origem, orientado no sentido anti-horário.
(c) Calcule
.
(d) O campo vetorial
é conservativo?
(b) Calcule
(c) Calcule
(d) O campo vetorial
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
para
.
(a) Pede o rotacional em pontos fora da origem.
(b) Pede a integral de linha ao longo do círculo de raio
.
(c) Pede .
(d) Pergunta se é conservativo.
Para resolver vamos usar definição de rotacional via derivadas parciais, parametrização de curva para a integral de linha e definição de campo conservativo (existência de potencial).
(a) Pede o rotacional
(b) Pede a integral de linha
(c) Pede
(d) Pergunta se
Para resolver vamos usar definição de rotacional via derivadas parciais, parametrização de curva para a integral de linha e definição de campo conservativo (existência de potencial).
Passo 2
Calcular
Usamos
.
1.
1.
Subtraindo, dá zero. Logo, para
Passo 3
Parametrizamos o círculo
por
Então
e o vetor tangente é
.
O produto interno é
O produto interno é
Assim
Passo 4
No ponto
o campo não está definido (os componentes envolvem
no denominador), então as derivadas parciais sequer existem ali. Portanto
Passo 5
Um campo é conservativo se existe
tal que
. Note que
satisfaz
Logo
em todo o domínio
, ou seja,
é conservativo.
Resposta
(a)
para
.
(b) .
(c) não existe.
(d) Sim, é conservativo (pois
).
(b)
(c)
(d) Sim,