Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=x y \mathbf{i}+x \mathbf{j}.
(a) Calcule o trabalho realizado por \mathbf{F} num segmento de reta que vai de (0,0) a (3,6).
(b) Uma partícula percorre o segmento de reta de (0,0) a (2,4), volta pelo mesmo segmento de reta até (1,2) e então vai por um segmento de reta até (3,6). Sem fazer novos cálculos, qual o trabalho realizado por \mathbf{F} nesta partícula?
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=x\,y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}
e pede o trabalho
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
num segmento de reta de (0,0) a (3,6) (item a). No item (b), o percurso vai de (0,0) a (2,4), retorna até (1,2) e depois vai a (3,6). Vamos usar parametrização de reta e a propriedade de cancelamento de subcaminhos.
Note que C_1 se decompõe em (0,0)\to(1,2) mais (1,2)\to(2,4), e C_2 é exatamente o retorno de (1,2)\to(2,4). Logo o trabalho em C_2 cancela o trabalho da parte (1,2)\to(2,4) de C_1. Resta então o caminho (0,0)\to(1,2) seguido de (1,2)\to(3,6), que é justamente o mesmo segmento de reta (0,0)\to(3,6). Assim, sem novos cálculos, o trabalho total continua sendo o mesmo do item (a).