1. Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=x y \mathbf{i}+x \mathbf{j}.
    (a) Calcule o trabalho realizado por \mathbf{F} num segmento de reta que vai de (0,0) a (3,6).
    (b) Uma partícula percorre o segmento de reta de (0,0) a (2,4), volta pelo mesmo segmento de reta até (1,2) e então vai por um segmento de reta até (3,6). Sem fazer novos cálculos, qual o trabalho realizado por \mathbf{F} nesta partícula?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=x\,y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}
e pede o trabalho
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
num segmento de reta de (0,0) a (3,6) (item a). No item (b), o percurso vai de (0,0) a (2,4), retorna até (1,2) e depois vai a (3,6). Vamos usar parametrização de reta e a propriedade de cancelamento de subcaminhos.

Passo 2

Parametrizamos o segmento C de (0,0) a (3,6) por
\mathbf{r}(t)=(3t,6t),\quad 0\le t\le1,
de modo que
d\mathbf{r}=(3,6)\,dt.
Em \mathbf{r}(t) temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(x\,y,\,x)\big|_{(3t,6t)}=(18t^2,\,3t).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =18t^2\cdot3+3t\cdot6 =54t^2+18t.
Integrando de 0 a 1,
W=\int_0^1(54t^2+18t)\,dt =\Bigl[18t^3+9t^2\Bigr]_0^1 =18+9=27.

Passo 3

No item (b), o percurso é
C_1:(0,0)\to(2,4),\quad C_2:(2,4)\to(1,2),\quad C_3:(1,2)\to(3,6).
Note que C_1 se decompõe em (0,0)\to(1,2) mais (1,2)\to(2,4), e C_2 é exatamente o retorno de (1,2)\to(2,4). Logo o trabalho em C_2 cancela o trabalho da parte (1,2)\to(2,4) de C_1. Resta então o caminho (0,0)\to(1,2) seguido de (1,2)\to(3,6), que é justamente o mesmo segmento de reta (0,0)\to(3,6). Assim, sem novos cálculos, o trabalho total continua sendo o mesmo do item (a).

Resposta

(a) 27
(b) 27

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