Determine geometricamente o vetor unitário tangente a
e calcule
. Em seguida determine o trabalho realizado por
ao longo de
.
e
é a fronteira do quadrado
no plano
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o vetor unitário tangente
à curva
e o produto escalar
, e em seguida o trabalho
para
ao longo do contorno
do quadrado
no plano
, orientado anti-horário.
O conteúdo envolve parametrizações de cada lado de , cálculo do vetor tangente unitário e integração de linha.
O conteúdo envolve parametrizações de cada lado de
Passo 2
Segmento 1: vai de
a
.
Uma parametrização é
Uma parametrização é
Então
logo o vetor tangente unitário é
Em cada ponto
,
temos
portanto
Passo 3
Segmento 2: vai de
a
.
Parametrização
Parametrização
e aqui
, então
logo
Passo 4
Segmento 3: vai de
a
.
Parametrização
Parametrização
e
, então
o que dá
Passo 5
Segmento 4: vai de
a
.
Parametrização
Parametrização
e
implica
, logo
Passo 6
Agora o trabalho é a soma das quatro integrais
Resposta
O trabalho realizado por
ao longo de
é
.