- Considere o campo vetorial
do exemplo 13 acima.
(a) Verifique que se
.
(b) Verifique que
onde
é o círculo de raio
centrado na origem, orientado no sentido anti-horário. Este resultado contradiz o teorema de Green?
(a) Verifique que se
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido para
. Pede-se (a) mostrar que
em todo ponto fora da origem e (b) calcular
onde
é o círculo de raio
centrado na origem, orientado anti-horário, e discutir se isso contradiz o teorema de Green.
Passo 2
Calculamos
Então
Logo
Passo 3
Parametrizamos
por
então
O produto escalar é
Assim
Passo 4
O teorema de Green exige que o campo seja definido e de classe
em toda a região interna ao caminho. Aqui
não está definido em
, que fica dentro do círculo. Logo não podemos aplicar diretamente o teorema de Green no disco inteiro, e não há contradição.
Resposta
(a)
para
.
(b) .
Não contradiz o teorema de Green, pois o campo não é definido no interior inteiro do círculo (origem).
(b)
Não contradiz o teorema de Green, pois o campo não é definido no interior inteiro do círculo (origem).