1. Considere o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}
do exemplo 13 acima.
(a) Verifique que se (x, y) \neq(0,0), \operatorname{rot}(\mathbf{F})(x, y)=0.
(b) Verifique que
\oint_{C a} \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} d l=2 \pi
onde C_{a} é o círculo de raio a centrado na origem, orientado no sentido anti-horário. Este resultado contradiz o teorema de Green?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}
definido para (x,y)\neq(0,0). Pede-se (a) mostrar que \operatorname{rot}\mathbf{F}=0 em todo ponto fora da origem e (b) calcular
\oint_{C_{a}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl
onde C_{a} é o círculo de raio a centrado na origem, orientado anti-horário, e discutir se isso contradiz o teorema de Green.

Passo 2

Calculamos
F_{1}(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\quad F_{2}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Então
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\frac{(x^{2}+y^{2})-x\cdot2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{-(x^{2}+y^{2})-(-y)\cdot2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =0.

Passo 3

Parametrizamos C_{a} por
\mathbf{r}(t)=(a\cos t,\;a\sin t),\quad t\in[0,2\pi],
então
\mathbf{r}'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t),
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\Bigl(-\frac{a\sin t}{a^{2}},\;\frac{a\cos t}{a^{2}}\Bigr) =\Bigl(-\frac{\sin t}{a},\;\frac{\cos t}{a}\Bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\Bigl(-\frac{\sin t}{a}\Bigr)(-a\sin t) +\Bigl(\frac{\cos t}{a}\Bigr)(a\cos t) =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Assim
\oint_{C_{a}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 4

O teorema de Green exige que o campo seja definido e de classe C^{1} em toda a região interna ao caminho. Aqui \mathbf{F} não está definido em (0,0), que fica dentro do círculo. Logo não podemos aplicar diretamente o teorema de Green no disco inteiro, e não há contradição.

Resposta

(a) \operatorname{rot}\mathbf{F}(x,y)=0 para (x,y)\neq(0,0).
(b) \displaystyle\oint_{C_{a}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl=2\pi.
Não contradiz o teorema de Green, pois o campo não é definido no interior inteiro do círculo (origem).

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