- Considere uma curva fechada
no plano. O fluxo de um campo de vetores
através de
é definido como a integral da projeção de
na direção normal a
. Denotaremos este fluxo por
, onde
é um campo unitário normal a
.
(a) Denotemos por
, uma parametrização de
. Verifique que se
e
é um vetor unitário normal apontando para fora de
, então
(b) Considere uma região
do plano com fronteira uma curva fechada
e suponhamos que
esteja definido em
. Verifique que, se
está apontando para fora de
, então
(a) Denotemos por
Passo 1
O enunciado trata do fluxo de um campo vetorial
através de uma curva fechada
que é fronteira de uma região
. No item (a) queremos achar uma fórmula paramétrica para
quando
é dada por
,
, e
é o vetor normal unitário externo. No item (b) queremos usar a forma de Green para mostrar que esse fluxo vale
Passo 2
Para obter a expressão paramétrica, note que a tangente não normalizada é
e o elemento de comprimento é
. Para uma parametrização no sentido anti-horário, o normal unitário externo sai da tangente girada
no sentido horário, isto é,
Passo 3
Então
Integrando de
a
obtemos exatamente a fórmula do item (a):
Passo 4
Para o item (b), reescrevemos o fluxo em coordenadas como
Agora note que isto é uma integral de linha da forma
com
e
.
Passo 5
Pelo Teorema de Green para curvas positivamente orientadas (anti-horário) que delimitam
, temos
Isto completa a verificação do item (b).
Resposta
(a)
(b)
(b)