Considere o campo vetorial em R^3 dado por
F(x, y, z)=2 x y z^3 i+x^2 z^3 j+3 x^2 y z^2 k
Verifique se F é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial em F(x, y, z) = 2 x y z^3 i + x^2 z^3 j + 3 x^2 y z^2 k definido por
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se esse campo é conservativo. Mas o que significa ser um campo conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se a sua “força” pode ser derivada de uma função potencial. Para verificar isso, vamos usar uma ferramenta chamada rotacional ou curl. Se o curl de for igual a zero, então o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o curl de um campo vetorial nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . A fórmula do curl é:
Vamos calcular cada uma dessas partes.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de Fx = 2 x y z^3, Fy = x^2 z^3, Fz = 3 x^2 y z^2 :
partial Fzpartial y = 3 x^2 z^2
Agora, vamos calcular cada derivada:
  1. Para a componente partial Fypartial z = 3 x^2 z^2 :
Então, partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 3 x^2 z^2 - 3 x^2 z^2 = 0
partial Fxpartial z = 6 x y z^2
partial Fzpartial x = 6 x y z^2 ã
  1. Para a componente Então, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 6 x y z^2 - 6 x y z^2 = 0 :
partial Fypartial x = 2 x z^3
partial Fxpartial y = 2 x z^3
Então, partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 2 x z^3 - 2 x z^3 = 0 ã
  1. Para a componente :
ã

Passo 4

Agora que calculamos todas as componentes do curl, temos:
nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Como o rotacional de é zero, isso indica que o campo vetorial é conservativo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo.

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