Considere o campo vetorial em
dado por
Verifique se
é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial em
definido por
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se esse campo é conservativo. Mas o que significa ser um campo conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se a sua “força” pode ser derivada de uma função potencial. Para verificar isso, vamos usar uma ferramenta chamada rotacional ou curl. Se o curl de
for igual a zero, então o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o curl de um campo vetorial
. A fórmula do curl é:
Vamos calcular cada uma dessas partes.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada derivada:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Passo 4
Agora que calculamos todas as componentes do curl, temos:
Como o rotacional de
é zero, isso indica que o campo vetorial
é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.