Resultado: uma função linear
é um isomorfismo se e só se
é uma matriz quadrada invertível; nesse caso,
também é um isomorfismo e
.
Use o resultado anterior para verificar se as funções lineares seguintes são isomorfismos; e nos casos afirmativos, determine a função linear inversa
.
(a)
;
Use o resultado anterior para verificar se as funções lineares seguintes são isomorfismos; e nos casos afirmativos, determine a função linear inversa
(a)
Passo 1
Temos a função linear
dada por
. O conteúdo que vamos usar é o critério de isomorfismo via matriz:
é isomorfismo se e somente se
for uma matriz quadrada invertível na base canônica.
Passo 2
Para montar a matriz
, aplicamos
aos vetores da base canônica
e
:
Passo 3
Lembrando que uma matriz
é invertível se
for não nulo. Aqui temos:
Como o determinante é diferente de zero,
é invertível e
é um isomorfismo.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a fórmula da adjunta em
:
portanto
Passo 5
A partir de
, a ação de
em um vetor
é dada por multiplicação de matriz, ou seja:
Resposta
A transformação é um isomorfismo e sua inversa é