Resultado: uma função linear f é um isomorfismo se e só se M(f) é uma matriz quadrada invertível; nesse caso, f^-1 também é um isomorfismo e M(f^-1)=(M(f))^-1.
Use o resultado anterior para verificar se as funções lineares seguintes são isomorfismos; e nos casos afirmativos, determine a função linear inversa f^-1.
(a) f(x, y)=(x+y, x-y);

Passo 1

Temos a função linear f:R^2toR^2 dada por f(x,y)=(x+y,;x-y). O conteúdo que vamos usar é o critério de isomorfismo via matriz: f é isomorfismo se e somente se M(f) for uma matriz quadrada invertível na base canônica.

Passo 2

Para montar a matriz M(f), aplicamos f aos vetores da base canônica e1=(1,0) e e2=(0,1):
M(f)=f(e1)&f(e2) =(1,1)&(1,-1) =1&11&-1

Passo 3

Lembrando que uma matriz 2times2 A=a&bc&d é invertível se det(A)=ad-bc for não nulo. Aqui temos:
detl(M(f)r)=1cdot(-1)-1cdot1=-2neq0
Como o determinante é diferente de zero, M(f) é invertível e f é um isomorfismo.

Passo 4

Para encontrar M(f)^-1, usamos a fórmula da adjunta em 2times2:
adj(M(f))=-1&-1-1&1,
portanto
M(f)^-1=1det(M(f)),adj(M(f)) =1-2-1&-1-1&1 =1/2&1/21/2&-1/2

Passo 5

A partir de M(f)^-1, a ação de f^-1 em um vetor (u,v) é dada por multiplicação de matriz, ou seja:
f^-1(u,v)=l(tfracu+v2,;tfracu-v2r)

Resposta

A transformação é um isomorfismo e sua inversa é
f^-1(x,y)=l(tfracx+y2,;tfracx-y2r)

Exercícios relacionados