1. Considere o campo vetorial \vec{F}=(1,0,0).
  • Calcule o fluxo de \vec{F} através de um quadrado de lado a, no plano y z.
  • Interprete: por que o fluxo é simplesmente proporcional à área?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec F=(1,0,0) através de um quadrado de lado a que está no plano yz. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo), aplicando
\Phi = \iint_{S} \vec F\cdot \vec n\,dS
onde \vec n é o versor normal à superfície e dS o elemento de área.

Passo 2

Parametrizamos o quadrado por
\vec r(y,z) = (0,y,z),\quad 0\le y\le a,\;0\le z\le a,
pois ele está em x=0. Como ele é plano e alinhado com o plano yz, um versor normal conveniente, apontando para +x, é
\vec n = (1,0,0).
Nesse caso dS = dy\,dz.

Passo 3

O produto escalar \vec F\cdot\vec n é constante em toda a superfície:
\vec F\cdot \vec n = (1,0,0)\cdot(1,0,0) = 1.
Logo o fluxo é
\Phi = \iint_{0}^{a}\!\!\iint_{0}^{a} 1\,dy\,dz = \int_{0}^{a}\!\int_{0}^{a} dy\,dz = a^2.

Passo 4

Como \vec F\cdot\vec n é constante em toda a superfície, a integral sobre S reduz-se à essa constante vezes a área do quadrado. Por isso o fluxo é simplesmente proporcional à área: cada unidade de área “recebe” a mesma quantidade de campo, logo \Phi\propto\text{área}=a^2á.

Resposta

\Phi = a^2.

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