Encontre a área do paralelogramo formado pelos vetores:
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,5,6)
(Use o módulo do produto vetorial.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área do paralelogramo determinado pelos vetores \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(4,5,6). O conteúdo necessário é o produto vetorial em \mathbb{R}^3 e o cálculo do seu módulo, pois a área de um paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} é \bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|.

Passo 2

Para calcular o produto vetorial usamos a fórmula
\vec{u}\times\vec{v} =\bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).

Passo 3

Substituindo \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(4,5,6) na fórmula,
\vec{u}\times\vec{v} =\bigl(2\cdot6 - 3\cdot5,\;3\cdot4 - 1\cdot6,\;1\cdot5 - 2\cdot4\bigr) =(-3,\,6,\,-3).

Passo 4

Agora calculamos o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\| =\sqrt{(-3)^{2}+6^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{9+36+9} =\sqrt{54} =3\sqrt{6}.
Esse valor é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Resposta

3\sqrt{6}

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