1. Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2}-z^{2}\right) \vec{i}+\left(z^{2}-x^{2}\right) \vec{j}+\left(x^{2}-y^{2}\right) \vec{k}.
    (a) Determine \nabla \cdot \vec{F} e \nabla \times \vec{F}.
    (b) O campo vetorial \vec{F} é conservativo?
    (c) Determine \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}, onde \gamma é a circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=(y^{2}-z^{2})\,\vec{i}+(z^{2}-x^{2})\,\vec{j}+(x^{2}-y^{2})\,\vec{k}
e pede:
(a) o divergente \nabla\cdot\vec{F} e o rotacional \nabla\times\vec{F};
(b) verificar se \vec{F} é conservativo;
(c) calcular \displaystyle \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde \gamma é a circunferência de raio 1 centrada na origem (no plano z=0).
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas, o critério de conservatividade (rotacional nulo em domínio simplesmente conexo) e parametrização de curva para a integral de linha.

Passo 2

Cálculo do divergente:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-z^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(z^{2}-x^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}-y^{2}) =0+0+0 =0.

Passo 3

Cálculo do rotacional, usando
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\Bigr)\vec{i} +\Bigl(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\Bigr)\vec{j} +\Bigl(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\Bigr)\vec{k}.
Calculando cada termo:
\frac{\partial F_{z}}{\partial y}=-2y,\quad \frac{\partial F_{y}}{\partial z}=2z, \quad \frac{\partial F_{x}}{\partial z}=-2z,\quad \frac{\partial F_{z}}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial F_{y}}{\partial x}=-2x,\quad \frac{\partial F_{x}}{\partial y}=2y.
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\nabla\times\vec{F} =(-2y-2z)\,\vec{i}+(-2z-2x)\,\vec{j}+(-2x-2y)\,\vec{k} =-2(y+z)\,\vec{i}-2(z+x)\,\vec{j}-2(x+y)\,\vec{k}.

Passo 4

O campo \vec{F} seria conservativo se e somente se \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em um domínio simplesmente conexo. Como \nabla\times\vec{F}=-2(y+z)\,\vec{i}-2(z+x)\,\vec{j}-2(x+y)\,\vec{k}\neq\vec{0} em geral, concluímos que \vec{F} não é conservativo.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}, note que \gamma é a circunferência de raio 1 no plano z=0. Parâmetrizamos
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=0, \quad 0\le t\le 2\pi,
então
dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt,\quad dz=0.
Em z=0, \displaystyle \vec{F}=(y^{2},-x^{2},x^{2}-y^{2}) e \vec{F}\cdot d\vec{r}=F_x\,dx+F_y\,dy =\sin^{2}t\,(-\sin t\,dt)+(-\cos^{2}t)(\cos t\,dt) =-(\sin^{3}t+\cos^{3}t)\,dt.

Passo 6

Integramos sobre t\in[0,2\pi]:
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} =-\int_{0}^{2\pi}\bigl(\sin^{3}t+\cos^{3}t\bigr)\,dt =-\Bigl[\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt+\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt\Bigr].
Como \sin^{3}t e \cos^{3}t têm média zero em um período inteiro, cada integral vale zero. Portanto
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec{F}=0 e \displaystyle \nabla\times\vec{F}=-2(y+z)\,\vec{i}-2(z+x)\,\vec{j}-2(x+y)\,\vec{k}.
(b) \vec{F} não é conservativo.
(c) \displaystyle \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.

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