- Considere o campo vetorial
.
(a) Determine
e
.
(b) O campo vetorial
é conservativo?
(c) Determine
, onde
é a circunferência de raio 1 centrada na origem.
(a) Determine
(b) O campo vetorial
(c) Determine
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede:
(a) o divergente e o rotacional
;
(b) verificar se é conservativo;
(c) calcular , onde
é a circunferência de raio 1 centrada na origem (no plano
).
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas, o critério de conservatividade (rotacional nulo em domínio simplesmente conexo) e parametrização de curva para a integral de linha.
e pede:
(a) o divergente
(b) verificar se
(c) calcular
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas, o critério de conservatividade (rotacional nulo em domínio simplesmente conexo) e parametrização de curva para a integral de linha.
Passo 2
Cálculo do divergente:
Passo 3
Cálculo do rotacional, usando
Calculando cada termo:
Logo
Passo 4
O campo
seria conservativo se e somente se
em um domínio simplesmente conexo. Como
em geral, concluímos que
não é conservativo.
Passo 5
Para calcular
, note que
é a circunferência de raio 1 no plano
. Parâmetrizamos
então
Em
,
e
Passo 6
Integramos sobre
:
Como
e
têm média zero em um período inteiro, cada integral vale zero. Portanto
Resposta
(a)
e
(b) não é conservativo.
(c)
(b)
(c)