1. Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e seja g(x, y)=\sqrt{[f(x)]^{2}-y^{2}} definida sobre o conjunto D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; a \leq x \leq b, \quad y^{2} \leq[f(x)]^{2}\right\}. O sólido B compreendido acima do conjunto D e abaixo do gráfico de g é a metade do sólido obtido pela revolução dográfico de f em torno do eixo x. Utilize integrais duplas para mostrar que o volume de B pode ser dado por
\frac{\pi}{2} \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido
B=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 : a\le x\le b,\;y^2\le [f(x)]^2,\;0\le z\le g(x,y)\bigr\},
onde g(x,y)=\sqrt{[f(x)]^2-y^2}.
O conteúdo principal é usar integrais duplas para escrever \mathrm{Vol}(B)=\iint_D g(x,y)\,\mathrm dA
e depois avaliar essa integral por separação de variáveis e conhecimento de área de semicírculo.

Passo 2

Expressamos o volume como integral iterada sobre D:
\mathrm{Vol}(B) =\iint_D \sqrt{[f(x)]^2-y^2}\,\mathrm dA =\int_{x=a}^{b}\Bigl(\int_{y=-f(x)}^{f(x)}\sqrt{[f(x)]^2-y^2}\,\mathrm dy\Bigr)\mathrm dx.

Passo 3

No integrando interno, para cada x fixo temos \displaystyle\int_{-f(x)}^{f(x)}\sqrt{[f(x)]^2-y^2}\,\mathrm dy.
Essa é a área sob a curva z=\sqrt{r^2-y^2} de y=-r a y=r com r=f(x), ou seja, a área de um semicírculo de raio r. Logo
\int_{-f(x)}^{f(x)}\sqrt{[f(x)]^2-y^2}\,\mathrm dy =\frac{1}{2}\,\pi\,[f(x)]^2.

Passo 4

Substituindo o resultado do semicírculo na integral em x, obtemos
\mathrm{Vol}(B) =\int_{a}^{b}\frac{\pi}{2}[f(x)]^2\,\mathrm dx =\frac{\pi}{2}\int_{a}^{b}[f(x)]^2\,\mathrm dx.

Resposta

\mathrm{Vol}(B) =\frac{\pi}{2}\int_{a}^{b}[f(x)]^2\,\mathrm dx.

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