- Seja
uma função contínua e seja
definida sobre o conjunto
. O sólido
compreendido acima do conjunto
e abaixo do gráfico de
é a metade do sólido obtido pela revolução dográfico de
em torno do eixo
. Utilize integrais duplas para mostrar que o volume de
pode ser dado por
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido
onde
.
O conteúdo principal é usar integrais duplas para escrever
e depois avaliar essa integral por separação de variáveis e conhecimento de área de semicírculo.
O conteúdo principal é usar integrais duplas para escrever
e depois avaliar essa integral por separação de variáveis e conhecimento de área de semicírculo.
Passo 2
Expressamos o volume como integral iterada sobre
:
Passo 3
No integrando interno, para cada
fixo temos
.
Essa é a área sob a curva de
a
com
, ou seja, a área de um semicírculo de raio
. Logo
Essa é a área sob a curva
Passo 4
Substituindo o resultado do semicírculo na integral em
, obtemos