Considere o campo vetorial
é conservativo.
Calcule
, onde
, orientada no sentido horário.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de um campo vetorial conservativo
ao longo do arco da elipse
no primeiro quadrante, orientado no sentido horário. O conteúdo usado será campos conservativos, função potencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Buscamos
resolvendo:
e
Uma escolha óbvia é
pois suas derivadas coincidem com as componentes de
.
Passo 3
Para usar o Teorema Fundamental, identificamos o ponto inicial e final de
de acordo com a orientação: no sentido horário sobre o arco da elipse no primeiro quadrante, o caminho sai de
e termina em
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental para campos conservativos:
Resposta
1