Considere o campo vetorial
F(x, y)=xraizx^2+y^2 i+yraizx^2+y^2 j
é conservativo.
Calcule integralC F cdot d r, onde C=(x, y) in R^2 ; x^24+y^2=1, x >= 0, y >= 0, orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de um campo vetorial conservativo
F(x,y)=xraizx^2+y^2, i+yraizx^2+y^2, j ao longo do arco da elipse x^24+y^2=1 no primeiro quadrante, orientado no sentido horário. O conteúdo usado será campos conservativos, função potencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi= F. Buscamos phi resolvendo:
partialphipartial x=xraizx^2+y^2,
e
partialphipartial y=yraizx^2+y^2
Uma escolha óbvia é
phi(x,y)=raizx^2+y^2,
pois suas derivadas coincidem com as componentes de F.

Passo 3

Para usar o Teorema Fundamental, identificamos o ponto inicial e final de C de acordo com a orientação: no sentido horário sobre o arco da elipse no primeiro quadrante, o caminho sai de
(0,1)
e termina em
(2,0)

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental para campos conservativos:
integralC Fcdot d r=phil(2,0r)-phil(0,1r)=2-1=1

Resposta

1

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