(1 ponto) Prove que a função
dada por
possui inversa e calcule-a. Não esqueça de colocar o domínio e o contra-domínio da função inversa.
6. (2 pontos) Dada a função
, pede-se:
6. (2 pontos) Dada a função
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos mostrar que a função
, definida por
é invertível e calcular sua inversa, indicando também o domínio e o contradomínio dessa inversa.
Passo 2
Para provar que
é bijetora, fazemos duas coisas de uma vez só: resolvemos a equação
para
(mostrando que, para todo
, existe exatamente um
tal que
). Começamos escrevendo
que dá
$$
yx-4y=2x-5\quad\Longrightarrow\quad yx-2x=4y-5\quad\Longrightarrow\quad x(y-2)=4y-5
x=\frac{4y-5}{y-2}.$$
Isso mostra que, dado qualquer , existe um único
com
, provando injetividade e sobrejetividade em um só golpe.
Isso mostra que, dado qualquer
Passo 3
A expressão que achamos para
em função de
é justamente a inversa de
. Trocando o papel de
por
, concluímos que
$$
f^{-1}(x)=\frac{4x-5}{x-2},$$
e o domínio natural de é
(pois não podemos ter divisor zero) e o contradomínio fica
(porque
levaria de volta a
, que já excluímos).
e o domínio natural de
Resposta
A inversa é
, com domínio
e contradomínio
.