(1 ponto) Prove que a função f: R-4 R-2 dada por 2 x-5x-4 possui inversa e calcule-a. Não esqueça de colocar o domínio e o contra-domínio da função inversa.
6. (2 pontos) Dada a função f(x)=2 raizxx-2, pede-se:

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos mostrar que a função f: Rsetminus4toRsetminus2, definida por f(x)=2x-5x-4,é invertível e calcular sua inversa, indicando também o domínio e o contradomínio dessa inversa.

Passo 2

Para provar que f é bijetora, fazemos duas coisas de uma vez só: resolvemos a equação y=tfrac2x-5x-4 para x (mostrando que, para todo yneq2, existe exatamente um xneq4 tal que f(x)=y). Começamos escrevendo
y(x-4)=2x-5
que dá
$$
yx-4y=2x-5\quad\Longrightarrow\quad yx-2x=4y-5\quad\Longrightarrow\quad x(y-2)=4y-5 yx-4y=2x-5Longrightarrow yx-2x=4y-5Longrightarrow x(y-2)=4y-5
x=\frac{4y-5}{y-2}.$$
Isso mostra que, dado qualquer yneq2, existe um único y-2 com x=4y-5y-2, provando injetividade e sobrejetividade em um só golpe.

Passo 3

A expressão que achamos para x em função de y é justamente a inversa de f. Trocando o papel de y por x, concluímos que
$$
f^{-1}(x)=\frac{4x-5}{x-2},$$
e o domínio natural de f^-1(x)=4x-5x-2, é f^-1 (pois não podemos ter divisor zero) e o contradomínio fica Rsetminus2 (porque Rsetminus4 levaria de volta a f^-1(x)=4, que já excluímos).

Resposta

A inversa é f^-1(x)=4x-5x-2, com domínio Rsetminus2 e contradomínio Rsetminus4.

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